Euler's Eyes
2026-10-14
悬链线：悬挂的链子
Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum.（柔软的线怎样悬垂，刚硬的拱倒过来就怎样站立。）
— 罗伯特·胡克，1705 年破解的字谜
拿一根细链子的两端，让它自然下垂。它会形成一条漂亮的曲线，看上去像抛物线。1638 年，伽利略认为它确实是抛物线，至少近似如此。荷兰人克里斯蒂安·惠更斯 17 岁时就证明了它不可能是。但它到底是什么曲线，没有人知道。
1690 年 5 月，雅各布·伯努利在《学者学报》上把这个问题作为挑战提给读者。他自己试了一年，没有成功。1691 年 6 月发表了三份正确的解答：莱布尼茨的、时年 62 岁的惠更斯的，以及雅各布最小的弟弟、24 岁的约翰的。约翰从不让人忘记这件事：
我哥哥的努力没有成功。至于我，我更幸运一些，因为我找到了完整解决它的本领——我说这话并非自夸，何必隐瞒真相呢？诚然，这番钻研让我整整一夜不得安歇。
— 约翰·伯努利致皮埃尔·雷蒙·德·蒙莫尔的信（1718）
看链子的一段
诀窍是不看整条链子，而只看其中一段。把原点放在最低点，$y$ 轴朝上，考虑从最低点到右边某点 $P$ 的那一段。
这一段静止不动，所以作用在它上面的力是平衡的。共有三个力：
- 在最低点，链子以水平力 $H$ 向左拉；
- 在 $P$ 点，链子沿切线方向以力 $T$ 拉；
- 这一段的重量 $w\,s$，其中 $w$ 是每米的重量，$s$ 是这一段的长度。
水平方向上，$T$ 的水平分量与 $H$ 平衡；竖直方向上，$T$ 的竖直分量与重量平衡。由于 $T$ 沿切线方向，两个分量之比就是斜率 $y'$：
$$y'=\frac{\text{竖直}}{\text{水平}}=\frac{w\,s}{H}=\frac sa,\qquad a=\frac Hw.$$数 $a$ 具有长度的量纲，衡量链子被拉得有多紧。
链子的方程
现在对 $x$ 求导。由毕达哥拉斯定理应用于曲线的一小段，长度的增长率是 $\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+y'^2}$。于是
$$y''=\frac1a\sqrt{1+y'^2}.$$令 $u=y'$，分离变量：
$$\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{dx}{a}.$$左边的积分是 $\operatorname{arsinh}u$，即 双曲正弦 $\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}2$ 的反函数。由于最低点的斜率为零，$u(0)=0$，所以
$$u=y'=\sinh\frac xa.$$再积分一次，并令 $y(0)=0$：
$$\boxed{y=a\left(\cosh\frac xa-1\right),\qquad \cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}2.}$$函数 $\cosh$ 是 双曲余弦。这一段的长度顺便也得到了：$s=a\,y'=a\sinh\frac xa$。
约翰并不是这样写的：那时数 $e$ 和双曲函数都还没有名字。他用一种涉及对数的几何作图来描述这条曲线。但曲线是同一条，而惠更斯起的名字流传了下来：悬链线（catenary），来自拉丁语 catena，意为链子。
为什么看起来像抛物线
在最低点附近，$\cosh$ 的级数给出
$$\cosh z=1+\frac{z^2}2+\frac{z^4}{24}+\cdots\quad\Longrightarrow\quad y\approx\frac{x^2}{2a}.$$在底部附近，悬链线几乎就是抛物线。伽利略错得并不离谱：误差只在远离最低点处才显现，那里悬链线升得更快。当重量按 水平距离每米 而不是按链长每米分布时，才真正得到抛物线。悬索桥就是这种情形：轻的缆索吊着沉重而平直的桥面。
倒过来的链子就是拱
在悬挂的链子里，每一节都只受到相邻链节沿曲线方向的 拉力。如果把链子冻住再倒过来，每块石头就只受到相邻石块沿曲线方向的 推力，没有任何力让它向旁边滑。所以倒悬链线形状的拱不用砂浆也能立住。罗伯特·胡克在 1675 年就意识到了这一点，并把这个发现藏在一个字谜里，直到他死后才被破解：就是本文开头的引文。
1748 年，乔瓦尼·波莱尼用这个思想检查出现裂缝的圣彼得大教堂穹顶。加泰罗尼亚建筑师安东尼·高迪设计古埃尔领地教堂和圣家堂的拱时，把挂着小沙袋的链子吊起来，再把照片倒过来看。
练习：一条 a = 2 米的链子，在最低点右边 2 米处有多高？与抛物线比较。
取 $x=a=2$，$y=2(\cosh1-1)=2(1.5431-1)\approx1.086$ 米。抛物线近似给出 $\frac{x^2}{2a}=\frac44=1$ 米。将近 9 厘米的差别说明，远离底部时悬链线比抛物线升得快。
练习：证明不带 −1 的形式 y = a cosh(x/a) 满足 y² − s² = a²，其中 s 是从最低点算起的长度。
我们有 $y=a\cosh\frac xa$，$s=a\sinh\frac xa$。于是
$$y^2-s^2=a^2\left(\cosh^2\frac xa-\sinh^2\frac xa\right)=a^2,$$这用到恒等式 $\cosh^2z-\sinh^2z=1$，它直接由用 $e^z$ 写出的定义得到。这是 $\cos^2+\sin^2=1$ 的双曲版本。
来源： Johann Bernoulli，“Solutio problematis funicularii”，Acta Eruditorum（1691 年 6 月）· 约翰·伯努利传记，MacTutor · Jacques Heyman，The Stone Skeleton（Cambridge，1995）。
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