Euler's Eyes
2026-10-11
数学史
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费马的遗产
数论之父
在费马之前，关于整数的问题被看作谜题，是丢番图式的智力游戏。费马把它们变成了一个数学领域，有深刻的问题和自己的方法。将近一个世纪里，几乎没有人跟上他。直到 1730 年起，欧拉读了费马的批注，证明了其中很多，才使数论成为数学的核心分支。随后又有拉格朗日、勒让德和高斯。
其他发现
完整的清单会很长。几个亮点：
- 两平方和定理： 一个奇质数能表示为两个平方数之和，当且仅当它除以 4 余 1。例如 $13=4+9$，$29=4+25$，而 $7$ 和 $11$ 不行。费马在 1640 年宣布，欧拉在 1749 年证明。
- 佩尔方程： 费马用来挑战英国人的方程 $x^2-Ny^2=1$，当 $N$ 不是平方数时总有无穷多个解。
- 多边形数： 每个正整数都能表示为至多三个三角形数之和、四个平方数之和、五个五边形数之和，依此类推。拉格朗日在 1770 年证明了平方数的情形，高斯在 1796 年证明了三角形数的情形。
- 曲线求长： 费马计算了一些曲线弧的长度，这是另一个为微积分铺路的问题。
通向微积分之路
费马的解析几何使曲线能写成方程。他的极值方法用一种本质上就是导数的计算来求切线和极值。他还计算了 $y=x^n$ 型曲线下的面积。所缺的只是认识到切线与面积是互逆运算——这一步将由牛顿和莱布尼茨迈出。
在物理学中，最短时间原理解释了学校里学到的反射和折射，并开辟了现代物理中最优化原理的道路。
错误的猜想同样有教益
费马错误地认为所有形如 $2^{2^n}+1$ 的数都是质数。即便如此，这个问题引导欧拉发展出新的技巧，又意外地出现在高斯的正十七边形中。在数学中，一个好问题价值连城，即使答案与直觉相反。
而大定理，无论费马是否真有那个“绝妙”的证明，都迫使数学家创立了整套理论来解决它。怀尔斯的证明把两个看似遥远的领域联系在一起，这些工具如今的用途已远远超出了原来的问题。
要点回顾
- 费马是图卢兹的法官，研究数学纯属爱好；生前几乎什么也没发表。
- 他的出生年份有 1601 年和 1607 年两种说法，因为他有一个同名的同父异母哥哥。
- 他独立于笛卡儿创立了解析几何。
- 他的“近似相等”法在牛顿和莱布尼茨的微积分之前就能求极大值和极小值。
- 小定理说：当质数 $p$ 不整除 $a$ 时，$a^{p-1}\equiv1\pmod p$。
- 他猜想所有 $2^{2^n}+1$ 都是质数；欧拉证明了 $F_5$ 是 641 的倍数。
- 1654 年，他与帕斯卡通过点数问题创立了概率论。
- 最短时间原理解释了折射定律。
- 无穷递降法证明某些方程没有整数解。
- 大定理等待了 358 年，于 1995 年由安德鲁·怀尔斯证明。
资料来源： 费马的生平与贡献，MacTutor。
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