Fermat

A vida de Pierre de Fermat

Linha do tempo c. 1607Nasce em Beaumont-de-Lomagne, no sul da França. O ano exato é discutido. 1626Forma-se em direito na Universidade de Orléans. 1629–1631Em Bordeaux, estuda a obra de Viète e reconstrói livros perdidos da geometria grega. 1631Torna-se conselheiro no Parlamento de Toulouse. Ganha o direito de usar o “de” no nome. 1636Começa a corresponder-se com Marin Mersenne. Já tem sua geometria analítica e seu método de máximos e mínimos. 1637Por volta desse ano, escreve na margem da Aritmética de Diofanto a nota do “último teorema”. 1640Comunica o pequeno teorema e a conjectura sobre os números $2^{2^n}+1$. 1652Quase morre de peste. Chega a ser anunciado como morto. 1654Troca cartas com Blaise Pascal e funda com ele a teoria das probabilidades. 1662Deduz a lei da refração pelo princípio do tempo mínimo. 1665Morre em 12 de janeiro, em Castres. 1670O filho Samuel publica a Aritmética de Diofanto com as notas de margem do pai. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ c. 1607 Beaumont-de-LomagneNasce numa família de comerciantes de couro. O ano exato ainda é discutido. 1626 OrléansForma-se em direito na Universidade de Orléans. 1629–1631 BordeauxEstuda a obra de Viète e reconstrói livros perdidos da geometria grega. Já tem o método dos máximos e mínimos. 1631–1665 ToulouseConselheiro no Parlamento. Nas horas livres, escreve a Mersenne e a Pascal e anota na margem de Diofanto o “último teorema”. 1665 CastresMorre em 12 de janeiro, durante uma temporada no tribunal de Castres. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. A vida de Fermat no sudoeste da França, entre a lei e a matemática. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 11, 2026 Iniciar leitura

Fermat e a geometria analítica: uma curva em uma equação

Por quase dois mil anos, a geometria e a álgebra viveram separadas. A geometria dos gregos trabalhava com régua, compasso e figuras. A álgebra, que chegou à Europa pelos árabes, trabalhava com equações. No começo do século XVII, duas pessoas tiveram, ao mesmo tempo e sem combinar, a ideia de juntá-las: René Descartes e Pierre de Fermat. Uma frase que criou um campo Por volta de 1636, Fermat escreveu um pequeno texto em latim, Introdução aos lugares planos e sólidos. “Lugar” era o nome que os gregos davam a um conjunto de pontos que satisfazem uma condição, como o círculo, que é o lugar dos pontos a uma distância fixa do centro. Logo no começo, Fermat escreveu:

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Máximos e mínimos: o retângulo de maior área

Você tem 24 metros de cerca e quer cercar um terreno retangular com a maior área possível. Que medidas escolher? Um retângulo comprido e fino desperdiça cerca; um quadrado parece melhor. Mas como provar? Fermat inventou um método para responder perguntas assim por volta de 1636, mais de trinta anos antes de Newton e quase cinquenta antes de Leibniz publicar o cálculo. O problema de Fermat O primeiro exemplo de Fermat era exatamente esse: dividir um segmento de comprimento $b$ em duas partes, $x$ e $b-x$, de modo que o produto $x(b-x)$ seja o maior possível. É o nosso terreno: com 24 m de cerca, a soma de dois lados vizinhos é $12$, e a área é

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O pequeno teorema de Fermat: potências e restos

Pegue o número 2 e eleve a potências cada vez maiores. Divida cada resultado por 7 e anote o resto: Potência $2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ Valor 2 4 8 16 32 64 Resto por 7 2 4 1 2 4 1 Em $2^6$, o resto é 1. Agora tente com 3 e o primo 5: $3^4=81$, que deixa resto 1 na divisão por 5. E com 10 e o primo 13: $10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$, que também deixa resto 1 na divisão por 13.

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Números de Fermat: uma conjectura e um contraexemplo

Os matemáticos sempre sonharam com uma fórmula que só produzisse números primos. Em 1640, Fermat achou que tinha encontrado uma. Cinco primos seguidos Fermat estudou os números da forma $$F_n=2^{2^n}+1.$$O expoente é uma potência de 2: $1,2,4,8,16,\ldots$ Calculando os primeiros: $$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$Os cinco são primos. Verificar $65\,537$ à mão, testando divisores até sua raiz quadrada, já dava trabalho. Fermat escreveu a Frénicle de Bessy que estava convencido de que todos os números dessa forma eram primos, embora admitisse não ter uma demonstração.

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Fermat e Pascal: a divisão justa de um jogo interrompido

Dois jogadores apostam o mesmo valor num jogo de várias rodadas: ganha tudo quem vencer primeiro um certo número delas. No meio da partida, o jogo precisa ser interrompido. Como dividir o dinheiro de forma justa? Esse é o problema dos pontos. Parece simples, mas derrubou matemáticos por mais de 150 anos. A resposta errada Em 1494, o frade italiano Luca Pacioli propôs dividir o prêmio na proporção das rodadas já ganhas. Se A ganhou 2 rodadas e B ganhou 1, A leva $\frac23$ do prêmio.

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O princípio de Fermat: a luz escolhe o caminho mais rápido

Um salva-vidas está na areia e vê alguém se afogando no mar, mais adiante e para o lado. Qual caminho ele deve seguir? A linha reta é o caminho mais curto, mas não o mais rápido: ele corre na areia muito mais depressa do que nada na água. Vale a pena correr um pouco mais pela areia, para nadar menos. Fermat percebeu que a luz faz exatamente essa escolha. A reflexão: o menor caminho A ideia mais antiga é a do espelho. No século I, Heron de Alexandria já tinha notado que a luz, ao refletir, segue o caminho mais curto entre dois pontos passando pelo espelho.

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Descida infinita: uma solução menor leva à contradição

Imagine uma escada em que cada degrau tem um número inteiro positivo. Você pode descer: 10, 7, 4, 2, 1… mas em algum momento a escada acaba. Não existe uma sequência infinita de inteiros positivos cada vez menores. Parece óbvio. Fermat transformou essa obviedade numa das ferramentas mais poderosas da teoria dos números: a descida infinita. Como funciona Para provar que uma equação não tem solução em inteiros positivos: Suponha que ela tenha uma solução. A partir dela, construa outra solução, também em inteiros positivos, mas menor. Repita: dessa nova solução sai outra menor, e assim por diante, para sempre. Isso é impossível, porque a escada dos inteiros positivos acaba. Logo, a solução do passo 1 não existia. Fermat tinha orgulho do método. Numa carta de 1659 ao matemático Pierre de Carcavi, disse que era com ele que tinha provado a maior parte dos seus resultados sobre números.

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O último teorema de Fermat: da margem à prova de Wiles

Todo mundo conhece o teorema de Pitágoras: $3^2+4^2=5^2$. Existem infinitos trios de inteiros assim, como $5,12,13$ e $8,15,17$. E com cubos? Existem inteiros positivos com $a^3+b^3=c^3$? E com quartas potências? A nota na margem A página do problema II.8 na edição de 1670 da Aritmética de Diofanto. Logo abaixo do problema vem a “Observatio Domini Petri de Fermat”: a nota da margem, impressa pelo filho de Fermat.Diofanto, ed. Samuel de Fermat (1670) · Wikimedia Commons · domínio público Por volta de 1637, lendo o problema de Diofanto sobre dividir um quadrado em dois quadrados, Fermat escreveu na margem do livro, em latim:

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O legado de Fermat

O pai da teoria dos números Folha de rosto da edição de 1670 da Aritmética de Diofanto, impressa em Toulouse “com as observações de P. de Fermat”. Foi por este livro, publicado pelo filho cinco anos depois da morte do pai, que as notas da margem chegaram a Euler.Bernard Bosc, Toulouse (1670) · Wikimedia Commons · domínio público Antes de Fermat, os problemas sobre números inteiros eram vistos como enigmas, quebra-cabeças de Diofanto. Fermat os transformou numa área da matemática, com perguntas profundas e métodos próprios. Durante quase um século, quase ninguém o acompanhou. Foi Euler, a partir de 1730, quem leu as notas de Fermat, provou boa parte delas e fez da teoria dos números um ramo central da matemática. Depois vieram Lagrange, Legendre e Gauss.

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Créditos das imagens

Retrato histórico O retrato atribuído a Rolland Lefebvre vem do Wikimedia Commons e está em domínio público. Usamos a miniatura fornecida pelo Commons, sem edição, e a legenda mantém a autoria indicada pelo acervo. Página de origem. Indicação de domínio público. Figuras do blog A capa e o esquema da refração são ilustrações originais. As figuras interativas dos restos de potências, da área dos retângulos e da divisão do jogo interrompido foram criadas para esta trilha. São recursos didáticos e não reproduzem manuscritos de Fermat. A figura da partilha, por exemplo, supõe rodadas independentes e jogadores com chances iguais.

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