Euclides

Euclides de Alexandria: o autor sem rosto

Linha do tempo c. 530 a.C.Pitágoras e os seus seguidores estudam números e figuras no sul da Itália. c. 387 a.C.Platão funda a Academia em Atenas. Na porta, segundo a tradição: “Não entre quem não souber geometria”. 331 a.C.Alexandre, o Grande, funda Alexandria, no delta do Nilo. c. 300 a.C.Euclides ensina em Alexandria, no tempo do rei Ptolomeu I, e escreve os Elementos. c. 250 a.C.Arquimedes, em Siracusa, cita os Elementos. c. 100 d.C.Um papiro encontrado em Oxirrinco, no Egito, guarda um trecho do Livro II. c. 370Teão de Alexandria prepara a edição que será copiada pelos séculos seguintes. c. 450Proclo escreve o seu comentário ao Livro I, com as poucas notícias sobre Euclides. c. 800Os Elementos são traduzidos para o árabe em Bagdá. c. 1120Adelardo de Bath traduz o texto árabe para o latim. 1482Primeira edição impressa, em Veneza, por Erhard Ratdolt. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ c. 387 a.C. AtenasPlatão funda a Academia. A geometria que Euclides vai organizar nasce nas escolas gregas. c. 300 a.C. AlexandriaEuclides ensina no tempo de Ptolomeu I e escreve os treze livros dos Elementos. c. 250 a.C. SiracusaArquimedes já cita os Elementos nas suas obras. c. 100 OxirrincoUm papiro encontrado no lixo da cidade guarda um trecho do Livro II, com uma figura. c. 370 AlexandriaTeão de Alexandria prepara a edição que será copiada durante mil anos. c. 450 AtenasProclo escreve o comentário ao Livro I, com as poucas notícias que temos sobre Euclides. c. 800 BagdáNa Casa da Sabedoria, os Elementos são traduzidos para o árabe. c. 1120 BathAdelardo de Bath traduz o texto árabe para o latim, e o livro volta à Europa. 1482 VenezaErhard Ratdolt imprime a primeira edição, com as figuras nas margens. Seguiram-se mais de mil edições. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. A viagem dos Elementos, de Atenas e Alexandria até a primeira edição impressa, em Veneza. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os Elementos: definições, postulados e noções comuns

Ponto é aquilo que não tem partes. Linha é comprimento sem largura. — Euclides, Elementos, Livro I, Definições 1 e 2 Imagine que você quer convencer alguém, sem nenhuma possibilidade de dúvida, de que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180°. Medir não basta: o transferidor erra, e você só pode medir alguns triângulos. Você precisa de um argumento. Mas todo argumento parte de alguma coisa. De onde partir? Se cada afirmação precisa ser justificada por outra, e essa por outra, a cadeia nunca termina.

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A primeira proposição: o triângulo equilátero

Sobre uma reta limitada dada, construir um triângulo equilátero. — Euclides, Elementos, Proposição I.1 Depois das definições, dos postulados e das noções comuns, os Elementos começam com um problema pequeno e bonito. Você tem um segmento $AB$. Quer construir, só com régua e compasso, um triângulo cujos três lados sejam iguais a $AB$. É a primeira das 465 proposições do livro, e mostra em poucas linhas como todas as outras vão funcionar.

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O teorema de Pitágoras à moda de Euclides

Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que subtende o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto. — Euclides, Elementos, Proposição I.47 Muito antes dos gregos, os agrimensores do Egito, que remarcavam os campos depois de cada cheia do Nilo, eram chamados de esticadores de corda. Conta-se que usavam uma corda com 12 nós igualmente espaçados: esticada num triângulo de lados 3, 4 e 5, ela dava um ângulo reto. Os babilônios conheciam muito mais: uma tabuleta de barro de cerca de 1800 a.C., a Plimpton 322, traz uma lista de triângulos retângulos com lados inteiros, alguns enormes, como 3 367, 3 456 e 4 825.

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A álgebra feita com quadrados e retângulos

Se uma reta for cortada ao acaso, o quadrado sobre a reta toda é igual aos quadrados sobre os segmentos e duas vezes o retângulo contido pelos segmentos. — Euclides, Elementos, Proposição II.4 Os gregos não tinham letras para as incógnitas, nem sinais de mais e de menos, nem o sinal de igual. Quando queriam falar de $a\cdot b$, falavam de um retângulo de lados $a$ e $b$; quando queriam $a^2$, falavam de um quadrado de lado $a$. As palavras “quadrado” e “cubo”, que usamos para as potências, vêm daí. O Livro II dos Elementos é inteiro feito assim: são identidades da álgebra, enunciadas e provadas como fatos sobre áreas. Os historiadores o chamam de álgebra geométrica.

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O algoritmo de Euclides: o máximo divisor comum

O algoritmo de Euclides é o avô de todos os algoritmos, porque é o mais antigo algoritmo não trivial que sobreviveu até os dias de hoje. — Donald Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2 (1969) Você tem duas varas, uma de 252 cm e outra de 105 cm, e quer encontrar a maior régua que mede as duas exatamente, um número inteiro de vezes. Em linguagem de hoje, quer o máximo divisor comum, $\operatorname{mdc}(252,105)$. Pode-se listar todos os divisores de cada número e procurar o maior em comum, mas com números grandes isso é impraticável. No Livro VII dos Elementos, Euclides ensina um caminho muito mais rápido.

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Os números primos não acabam

Os números primos são mais do que qualquer quantidade proposta de números primos. — Euclides, Elementos, Proposição IX.20 Um número primo é um inteiro maior que 1 que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Todos os outros, como $12=2\cdot2\cdot3$, são produtos de primos. Os primos são os átomos da aritmética. Quanto mais se avança, mais raros eles ficam. Entre 1 e 100 há 25 primos; entre 1 000 001 e 1 000 100, só 6. Será que, a partir de algum ponto, eles acabam? Euclides mostrou que não, com um argumento de quatro linhas que o matemático inglês G. H. Hardy considerava um dos mais belos de toda a matemática.

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O quinto postulado e as outras geometrias

Do nada, criei um universo novo e estranho. — János Bolyai, carta ao pai (3 de novembro de 1823) Os quatro primeiros postulados de Euclides são curtos e evidentes: traçar uma reta, prolongá-la, desenhar um círculo, todos os ângulos retos são iguais. O quinto é diferente: Se uma reta, ao cortar duas outras, forma do mesmo lado ângulos internos cuja soma é menor que dois retos, essas duas retas, prolongadas indefinidamente, encontram-se desse lado.

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O legado de Euclides

Estudou e quase dominou os seis primeiros livros de Euclides depois de ter sido deputado. — Abraham Lincoln, nota autobiográfica (1860) Os Elementos são, depois da Bíblia, um dos livros mais vezes copiados, traduzidos e impressos da história. Desde a primeira edição impressa, em Veneza, em 1482, houve mais de mil edições. Durante mais de dois mil anos, “estudar geometria” quis dizer “estudar Euclides”. A primeira edição impressa dos Elementos, feita por Erhard Ratdolt em Veneza, em 1482, numa tradução latina. As figuras ficam nas margens, ao lado do texto; um leitor antigo encheu as páginas de anotações.Folger Shakespeare Library · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 As muitas faces de um livro O antigo curso de trigonometria deste site reunia algumas edições que mudaram a forma de apresentar Euclides:

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Créditos das imagens

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Não existe nenhum retrato de Euclides feito em vida; as imagens dele que circulam são invenções de artistas muito posteriores. Papiro de Oxirrinco com a Proposição II.5, c. 100 d.C., Museu da Universidade da Pensilvânia: página de origem · domínio público. Detalhe da Escola de Atenas, de Rafael, 1509–1511: página de origem · domínio público. A Proposição I.47 na edição de Oliver Byrne, Londres, 1847, digitalização de Mirko Junge: página de origem · domínio público. Primeira edição impressa dos Elementos, Erhard Ratdolt, Veneza, 1482, Folger Shakespeare Library: página de origem · CC BY-SA 4.0. Edição árabe dos Elementos, versão de Nasir al-Din al-Tusi, Roma, 1594, Biblioteca Houghton: página de origem · domínio público. Figuras do blog A capa, a construção do triângulo equilátero, a figura do teorema de Pitágoras e a de completar o quadrado são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O exemplo de completar o quadrado, $x^2+10x=39$, e o exercício $x^2+8x=65$ vêm do antigo curso deste site sobre a fórmula de Bhaskara, cujas figuras foram redesenhadas; os exemplos 3, 4, 5 e 6, 8, 10 e a tabela de edições vêm dos antigos cursos de geometria e trigonometria.

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