在一条给定的有限直线上作一个等边三角形。

— 欧几里得，《几何原本》命题 I.1

在定义、公设和公理之后，《几何原本》以一个小而美的问题开头。你有一条线段 $AB$，想只用直尺和圆规，作一个三条边都等于 $AB$ 的三角形。这是全书 465 个命题中的第一个，它用寥寥几行展示了其余所有命题的运作方式。

作图

欧几里得只用了前三条公设：

  1. 以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径作圆（公设 3）。
  2. 以 $B$ 为圆心、同样以 $BA$ 为半径作另一个圆（公设 3）。
  3. 两圆相交于一点 $C$。
  4. 连接 $CA$ 和 $CB$（公设 1）。

三角形 $ABC$ 就是所求的三角形。

命题 I.1 的作图。绿色圆以 A 为圆心，蓝色圆以 B 为圆心，两圆半径都是 AB，相交于 C。
命题 I.1 的作图。绿色圆以 A 为圆心，蓝色圆以 B 为圆心，两圆半径都是 AB，相交于 C。Euler’s Eyes 绘图

证明

作出来还不够：还必须 证明 这个三角形是等边的。证明有三步，每一步都注明依据：

  • $C$ 在以 $A$ 为圆心的圆上，所以 $AC=AB$，依据圆的定义：所有半径都相等。
  • $C$ 在以 $B$ 为圆心的圆上，所以 $BC=BA$，理由相同。
  • $AC$ 和 $BC$ 都等于 $AB$，所以 $AC=BC$，依据公理 1：等于同量的量彼此相等。

因此

$$AC=AB=BC,$$

三角形是等边的。欧几里得像在每个命题中那样，以一句话作结，拉丁译者把它译作 quod erat faciendum，“这就是所要作的”。在定理而非作图中，这句话是 quod erat demonstrandum，“这就是所要证明的”，即著名的 Q.E.D.（证毕）。

用坐标验算

今天我们可以用代数验证这个作图。设 $A=(0,0)$，$B=(s,0)$。两个圆为

$$x^2+y^2=s^2,\qquad(x-s)^2+y^2=s^2.$$

第二式减去第一式，得 $-2sx+s^2=0$，即 $x=\frac s2$。代回第一式，

$$y^2=s^2-\frac{s^2}4=\frac{3s^2}4\quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{\sqrt3}2s.$$

两圆交于两点 $C=\left(\frac s2,\pm\frac{\sqrt3}2s\right)$，分别在 $AB$ 两侧，任选一个都可以。三角形的高为 $\frac{\sqrt3}2s$，面积为

$$\boxed{\text{面积}=\frac12\cdot s\cdot\frac{\sqrt3}2s=\frac{\sqrt3}4s^2.}$$

漏洞

这个证明有一个漏洞，古代的注释者已经注意到了：为什么两个圆一定相交？ 图上显示它们相交，但没有任何公设保证这一点。例如，在一个只包含坐标为有理数的点的"平面"上，欧几里得的所有公设仍然成立，但当 $s=1$ 时，坐标为 $\frac{\sqrt3}2s$ 的点 $C$ 并不存在。两个圆会彼此穿过而不相碰。

要补上这个漏洞，需要一条 连续性 公理，规定一个圆若有点在另一个圆内、也有点在圆外，就一定与之相交。十九世纪末，希尔伯特等人增加了这类公理。这个教训正是欧几里得想教的，只是比他本人走得更远：图形可以启发，但不能证明。

练习：若边长为 6 厘米，等边三角形的高和面积各是多少？

高为 $\frac{\sqrt3}2\cdot6=3\sqrt3\approx5.20$ 厘米。面积为 $\frac{\sqrt3}4\cdot36=9\sqrt3\approx15.6$ 平方厘米。

练习：边长为 s 的正六边形面积是多少？

正六边形可以分成六个边长为 $s$、顶点同在中心的等边三角形。面积为 $6\cdot\frac{\sqrt3}4s^2=\frac{3\sqrt3}2s^2\approx2.6\,s^2$。这就是蜂巢呈六边形的原因：在能无缝铺满平面的正多边形中，周长相同时，六边形围出的面积最大。

来源： 《几何原本》命题 I.1，D. E. Joyce 编 · Robin Hartshorne，Geometry: Euclid and Beyond（Springer，2000），第 1 章。

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