在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角的两边上的正方形之和。

— 欧几里得，《几何原本》命题 I.47

早在希腊人之前，埃及的测量员每次尼罗河泛滥后都要重新划定田界，他们被称为 拉绳人。据说他们用一根打了 12 个等距结的绳子：拉成边长 3、4、5 的三角形，就得到一个直角。巴比伦人知道的要多得多：约公元前 1800 年的一块泥板 普林顿 322，列出了许多边长为整数的直角三角形，有些非常大，比如 3 367、3 456 和 4 825。

本站旧的几何课程从最简单的例子讲起：

$$3^2+4^2=9+16=25=5^2,\qquad 6^2+8^2=36+64=100=10^2.$$

埃及人和巴比伦人缺少的，是这个关系对 所有 直角三角形都成立的 证明。传统上把它归于公元前六世纪的毕达哥拉斯，但他的证明没有一个流传下来。我们所有的最古老的证明是欧几里得的，即第一卷的倒数第二个命题。（在中国，这一关系称为"勾股定理"。）

风车证明

设三角形 $ABC$ 在 $A$ 处为直角，直角边 $AB=c$，$AC=b$，斜边 $BC=a$。在每条边上各作一个正方形。得到的图形像一架风车，这个证明因此得名；阿拉伯数学家称之为"新娘的椅子"。

命题 I.47 的图。从 A 引出的高（虚线）把斜边上的正方形分成两个矩形：左边的与 AB 上的正方形面积相等，右边的与 AC 上的正方形面积相等。
命题 I.47 的图。从 A 引出的高（虚线）把斜边上的正方形分成两个矩形：左边的与 AB 上的正方形面积相等，右边的与 AC 上的正方形面积相等。Euler’s Eyes 绘图

欧几里得的思路是，过 $A$ 作 $BC$ 的垂线，把 $BC$ 上的大正方形分成两个矩形，然后证明每个矩形都与一个小正方形面积相等。证明只用到两个已证明的事实：

  • I.4：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，面积相等。
  • I.41：与平行四边形同底同高的三角形，面积是平行四边形的一半。

对左边的矩形，欧几里得考察两个以 $B$ 为顶点的三角形。第一个由 $B$、$A$ 以及下方正方形中位于 $B$ 正下方的顶点构成；第二个由 $B$、$C$ 以及 $AB$ 上的正方形中与 $B$ 相邻且不是 $A$ 的那个顶点构成。这两个三角形有两边对应相等，一边是 $AB$ 上正方形的边，一边是 $BC$ 上正方形的边，而且夹角相等：都是三角形的一个角加上一个直角。由 I.4，它们面积相等。

再由 I.41，第一个三角形与左边的矩形同底同高，面积是它的一半；第二个三角形面积是 $AB$ 上正方形的一半，理由相同。于是

$$\text{左边的矩形}=AB\ \text{上的正方形}=c^2.$$

另一边同理可得 $\text{右边的矩形}=b^2$。相加：

$$\boxed{a^2=b^2+c^2.}$$

一个更短的证明：用相似

在第六卷讲完比例论之后，欧几里得给出了第二个证明。高 $AH$ 把三角形 $ABC$ 分成两个较小的三角形，它们都与大三角形 相似。设 $BH=m$，$HC=n$，$m+n=a$，由相似得

$$\frac{c}{a}=\frac{m}{c}\quad\Longrightarrow\quad c^2=am,\qquad\frac{b}{a}=\frac{n}{b}\quad\Longrightarrow\quad b^2=an.$$

相加，$b^2+c^2=a(m+n)=a^2$。这正是图中的两个矩形：$am$ 和 $an$。

逆定理

第一卷的最后一个命题 I.48 证明了逆命题：如果一个三角形一边上的正方形等于另两边上的正方形之和，那么这条边所对的角是直角。这就是拉绳人那根绳子的依据：由于 $3^2+4^2=5^2$，边长 3、4、5 的三角形 必定 是直角三角形。

奥利弗·伯恩彩色版（伦敦，1847）中的命题 I.47，用颜色和形状代替了字母。
奥利弗·伯恩彩色版（伦敦，1847）中的命题 I.47，用颜色和形状代替了字母。Oliver Byrne，The First Six Books of the Elements of Euclid（1847）· Wikimedia Commons · 公有领域
练习：一架 5 米长的梯子靠在墙上，梯脚离墙 1.4 米。梯子碰到墙的高度是多少？

梯子是斜边：$h^2+1.4^2=5^2$，所以 $h^2=25-1.96=23.04$，$h=4.8$ 米。这组数是 7、24、25 三角形除以 5：$1.4=\frac75$，$4.8=\frac{24}5$，$5=\frac{25}5$。

练习：证明对任意整数 m > n > 0，m² − n²、2mn 和 m² + n² 构成直角三角形。
$$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2.$$

取 $m=2$，$n=1$：三角形 3、4、5。取 $m=3$，$n=2$：5、12、13。取 $m=4$，$n=1$：15、8、17。欧几里得在第十卷（命题 X.29 之前的引理）中证明了这个规则，它能给出所有本原勾股数。

来源： 《几何原本》命题 I.47 和 I.48，D. E. Joyce 编 · Eli Maor，The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History（Princeton，2007）· Elisha S. Loomis，The Pythagorean Proposition（第二版，1940）。

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