Euler's Eyes
2026-10-14
欧几里得的遗产
他在当过国会议员之后，研读并几乎掌握了欧几里得的前六卷。
— 亚伯拉罕·林肯，自传笔记（1860）
除《圣经》之外，《几何原本》是历史上被抄写、翻译和印刷次数最多的书之一。自 1482 年在威尼斯出版第一个印刷版以来，已有一千多个版本。两千多年来，“学几何"就意味着"学欧几里得”。
一本书的多种面貌
本站旧的三角学课程收集了几个改变了欧几里得呈现方式的版本：
| 年份 | 作者 | 版本 |
|---|---|---|
| 约 1120 | 巴斯的阿德拉德 | 由阿拉伯文译成拉丁文 |
| 1482 | 埃哈德·拉特多尔特 | 第一个印刷版，威尼斯 |
| 1570 | 亨利·比林斯利 | 第一个英译本，附有可折成立体的纸制图形 |
| 1607 | 利玛窦与徐光启 | 前六卷的中译本，北京 |
| 1698 | 萨穆埃尔·赖尔 | Euclides… mit algebraischen Zeichen，用代数符号写的欧几里得 |
| 1847 | 奥利弗·伯恩 | The First Six Books of the Elements of Euclid，用颜色代替字母 |
伯恩 的版本是印刷史上最美的书之一。他不说"三角形 $ABC$"，而是把三角形画成黄色、红色和蓝色，证明变成了一连串彩色小图。当时它在商业上是失败的；如今它是博物馆藏品，也是设计师的灵感来源。
方法
比定理更重要的是 方法。牛顿仿照《几何原本》写成《自然哲学的数学原理》（1687）：定义、公理（他称之为运动定律），以及逐一证明的命题。斯宾诺莎"按几何学的顺序"写了《伦理学》（1677），用定义、公理和命题来谈论上帝和灵魂。美国《独立宣言》以一些被认为不言而喻的真理开头，如同公理，再由它们推出独立的权利。
在伊利诺伊州乡下当律师的亚伯拉罕·林肯意识到，自己不知道 证明 是什么意思。据说为了弄明白，他在巡回出庭的旅途中随身带着《几何原本》；他研读了前六卷，正如他在上面的引文中自己记下的那样。
希尔伯特与现代数学
1899 年，德国人大卫·希尔伯特出版了《几何基础》，用现代的严格性重做了欧几里得的工作：二十条公理，没有漏洞，也不借助图形。“点"“直线"“平面"这些词不再有自身的含义，重要的只是公理对它们说了什么。这种从明确的公理出发的做法，在二十世纪成为所有数学领域的标准。说到底，这就是把欧几里得的方法贯彻到底。
留下了什么
- 几何。 三角形、圆、相似、面积和体积、毕达哥拉斯定理和五种正多面体。
- 算术。 欧几里得算法、素数的无穷性，以及偶完全数的构造 $2^{p-1}(2^p-1)$。
- 代数。 第二卷的恒等式，花拉子米用它们来解二次方程。
- 逻辑。 从明确的定义和公设出发、证明其余一切的思想。
- 新几何。 第五公设引出了双曲几何，并经由它通向时空的几何。
要点回顾
- 欧几里得约公元前 300 年生活在亚历山大城。他的生平几乎无人知晓；他的著作则人尽皆知。
- 《几何原本》共十三卷、465 个命题，全部由定义、五条公设和五条公理推出。
- 用直尺和圆规，两个半径为 $AB$ 的圆作出等边三角形；其面积为 $\frac{\sqrt3}4s^2$。
- 在直角三角形中，$a^2=b^2+c^2$：斜边下的两个矩形面积分别等于两条直角边上的正方形。
- $(x+5)^2=64$ 解出了 $x^2+10x=39$：配方就是用面积做代数。
- $\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$：欧几里得算法一直除到余数为零。
- $p_1p_2\cdots p_n+1$ 有一个不在清单上的素因子：素数永远不会穷尽。
- 没有第五公设，就存在三角形内角和不等于 $180°$ 的几何。
来源： Thomas L. Heath，The Thirteen Books of Euclid’s Elements（Dover，1956），第一卷 · Benno Artmann，Euclid: The Creation of Mathematics（Springer，1999）· 欧几里得，MacTutor。