Euler's Eyes
2026-10-15
用尺规等分双纽线
1694 年，雅各布·伯努利研究了一条形如横躺的数字 8 的曲线，称之为 lemniscus，意思是蝴蝶结丝带。以点 $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$ 为焦点，它是到两个焦点距离之积等于 $\frac12$ 的点的集合。它的方程是
$$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,$$用极坐标表示则是 $r^2=\cos2\theta$。一个半世纪之后，阿贝尔证明了一个关于它的定理，像是从欧几里得的书里走出来的：对于哪些数 $n$，可以只用尺规把双纽线分成 $n$ 段等长的弧？
弧长
首先，曲线的一段有多长？在极坐标中，一小段弧满足 $ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2$。对 $r^2=\cos2\theta$ 求导，
$$2r\,dr=-2\sin2\theta\,d\theta,\qquad\sin2\theta=\sqrt{1-\cos^22\theta}=\sqrt{1-r^4},$$所以 $d\theta=-\dfrac{r\,dr}{\sqrt{1-r^4}}$，并且
$$ds^2=dr^2+\frac{r^4\,dr^2}{1-r^4}=\frac{dr^2}{1-r^4}.$$于是，从中心到距中心为 $r$ 的点的弧长是
$$\boxed{s=\int_0^r\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}.}$$这就是双纽线积分，也就是定义双纽线正弦的那个积分。换句话说：双纽线上沿弧距中心为 $s$ 的点，到中心的距离是 $\operatorname{sl}(s)$。双纽线正弦之于双纽线，正如正弦之于圆。从中心到顶端的弧长为 $\frac\varpi2\approx1.3110$，整条曲线长 $2\varpi\approx5.2441$。
1751 年的圣诞节
1718 年，意大利伯爵朱利奥·法尼亚诺发现了如何用尺规把双纽线的一段弧加倍：给定一段弧，作出长度为它两倍的另一段弧。没有人太在意。1751 年 12 月 23 日，柏林科学院把法尼亚诺的著作交给欧拉审阅。欧拉立刻看出了其中的价值，把法尼亚诺的公式推广为这些积分的加法公式。将近一个世纪后，雅可比说那一天是椭圆函数的诞生日。
分成八段
我们用双纽线正弦写出法尼亚诺的公式：
$$\operatorname{sl}(2u)=\frac{2\operatorname{sl}(u)\sqrt{1-\operatorname{sl}(u)^4}}{1+\operatorname{sl}(u)^4}.$$要把曲线分成八等份，只需找到平分从中心到顶端那段弧的点。顶端在 $r=1$，所以我们寻找满足 $\operatorname{sl}(2u)=1$ 的 $s=\operatorname{sl}(u)$：
$$1+s^4=2s\sqrt{1-s^4}.$$两边平方，并令 $w=s^2$：
$$(1+w^2)^2=4w(1-w^2)\quad\Longrightarrow\quad w^4+4w^3+2w^2-4w+1=0.$$这个多项式是完全平方：$(w^2+2w-1)^2$。所以 $w^2+2w-1=0$，正根为 $w=\sqrt2-1$。所求的点到中心的距离是
$$\boxed{r=\sqrt{\sqrt2-1}\approx0.6436.}$$这个数只涉及平方根，而平方根可以用尺规作出。以曲线中心为圆心、$\sqrt{\sqrt2-1}$ 为半径画圆，它与双纽线交于上图中间的四个点。
阿贝尔定理
高斯在 1796 年证明了正十七边形可以用尺规作出，更一般地，当 $n$ 是 2 的幂乘以不同的费马素数（如 3、5、17、257、65537）时，圆可以被分成 $n$ 等份。在 1801 年的书中，他留下了一句神秘的话：同样的原理也适用于积分 $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$。此后他没有再发表任何相关内容。
阿贝尔发表了。1827 年，他在《椭圆函数研究》中证明了：
双纽线可以用尺规分成 $n$ 段相等的弧，$n$ 的取值与圆的情形相同。
证明用到了双纽线正弦的加法公式和两个周期，这也是今天所说的复乘法结构最早出现的地方之一。逆命题，即对其他 $n$ 值不可能做到，直到 1981 年才由美国人迈克尔·罗森证明。
练习：如何用尺规作出长度 √(√2 − 1)？
边长为 1 的正方形的对角线长 $\sqrt2$。减去 1，得到 $a=\sqrt2-1\approx0.4142$。要开 $a$ 的平方根，用几何平均：在一条直线上截取 $AB=a$ 和 $BC=1$，以 $AC$ 为直径作半圆，在 $B$ 处作垂线。垂线到半圆的高度为 $\sqrt{a\cdot1}=\sqrt a\approx0.6436$，理由与勾股定理中的相似论证相同。
练习：3 到 20 之间哪些 n 可以用尺规把双纽线分成 n 段等弧？
这些值是 2 的幂乘以不同的费马素数：$3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17$ 和 $20$。不在其中的是 $7, 9, 11, 13, 14, 18$ 和 $19$。9 被排除是因为 $9=3\cdot3$ 重复了费马素数 3；7、11、13、19 不是费马素数。
来源： Niels Henrik Abel，“Recherches sur les fonctions elliptiques”，Journal für die reine und angewandte Mathematik 2（1827）· Michael Rosen，“Abel’s theorem on the lemniscate”，The American Mathematical Monthly 88（1981）· Carl Friedrich Gauss，Disquisitiones arithmeticae（1801），第 335 条。
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