Niels Henrik Abel

A vida de Niels Henrik Abel

Linha do tempo 1802Nasce em 5 de agosto, perto de Stavanger, na costa oeste da Noruega. 1804A família se muda para Gjerstad, onde o pai é pastor. 1815Entra na Escola da Catedral de Christiania, a atual Oslo. 1818Bernt Holmboe se torna o seu professor de matemática. 1820Morre o pai. Abel passa a sustentar parte da família. 1821Entra na universidade. Pensa ter resolvido a equação do quinto grau e descobre o erro. 1824Publica, à própria custa, a prova de que não há fórmula para o quinto grau. 1825Viaja a Berlim, onde conhece August Leopold Crelle. 1826Em Paris, entrega à Academia a sua grande memória sobre integrais. Cauchy a perde. 1827Volta à Noruega, sem emprego e endividado. Publica as funções elípticas. 1829Morre de tuberculose em Froland, em 6 de abril, aos 26 anos. 1830Recebe, depois de morto, o Grande Prêmio da Academia de Paris, com Jacobi. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1802 perto de StavangerNasce na costa oeste da Noruega, segundo de sete filhos de um pastor. 1804–1815 GjerstadCresce na paróquia do pai, no sul do país. 1815–1825 ChristianiaNa Escola da Catedral, o professor Holmboe descobre o seu talento. Em 1824 publica o folheto de seis páginas sobre o quinto grau. 1825–1826 BerlimConhece August Leopold Crelle, que publica sete artigos seus no primeiro volume do seu jornal. 1826 ParisEntrega à Academia a grande memória sobre integrais. Ninguém lhe dá atenção, e Cauchy perde o manuscrito. 1827–1828 ChristianiaVolta sem emprego e endividado. Publica as funções elípticas e disputa a corrida com Jacobi. 1828–1829 FrolandViaja de trenó no Natal para ver a noiva, adoece e morre de tuberculose em 6 de abril. Dois dias depois, chega a nomeação de Berlim. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. A grande viagem de Abel, da Noruega a Berlim e Paris, e a volta para morrer em Froland. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 15, 2026 Iniciar leitura

A equação do quinto grau: a fórmula que não existe

Os geômetras se ocuparam muito da solução geral das equações algébricas, e vários deles procuraram provar a sua impossibilidade. Mas, se não me engano, ninguém conseguiu até hoje. — Niels Henrik Abel, Memória sobre as equações algébricas (1824) Toda pessoa que passou pela escola conhece uma fórmula para resolver equações: a do segundo grau. A equação $ax^2+bx+c=0$ tem as raízes $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$A receita usa só as quatro operações e uma raiz quadrada. Os babilônios já sabiam resolver problemas desse tipo há quase quatro mil anos, e Euclides os resolveu com quadrados e retângulos. A pergunta natural é: existem receitas assim para as equações de grau maior?

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A série binomial e as séries do diabo

As séries divergentes são uma invenção do diabo, e é uma vergonha basear nelas qualquer demonstração. — Niels Henrik Abel, carta a Holmboe (janeiro de 1826) Em 1665, o jovem Newton descobriu que a fórmula do binômio valia também para expoentes que não são inteiros: $$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{6}x^3+\cdots$$Para $m$ inteiro positivo, a soma para depois de $m+1$ termos. Para $m=\frac12$ ou $m=-1$, ela nunca para: é uma série, uma soma com infinitos termos. Newton, Euler e todos os matemáticos do século XVIII usaram essa série com enorme sucesso. Quase ninguém perguntou quando ela funciona.

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Inverter a integral: as funções elípticas

Comece por uma função conhecida, vista de um jeito estranho. A integral $$\arcsin x=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$dá o comprimento de um arco de círculo de raio 1, medido a partir do ponto mais baixo, em função da altura $x$. É uma função complicada. Mas a sua inversa, que dá a altura em função do arco, é o seno, a função mais simples da trigonometria. E o seno tem uma propriedade que a integral esconde: é periódico. Como um quarto de volta mede

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Dividir a lemniscata com régua e compasso

Em 1694, Jakob Bernoulli estudou uma curva em forma de oito deitado, que chamou de lemniscus, uma fita de laço. Com os focos nos pontos $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$, ela é o conjunto dos pontos cujo produto das distâncias aos dois focos vale $\frac12$. A equação é $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,$$ou, em coordenadas polares, $r^2=\cos2\theta$. Abel, um século e meio depois, provou sobre ela um teorema que parece saído do livro de Euclides: para que números $n$ dá para dividir a lemniscata em $n$ arcos de mesmo comprimento usando só régua e compasso?

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Grupos abelianos: quando a ordem não importa

Calçar a meia e depois o sapato não dá o mesmo resultado que calçar o sapato e depois a meia. Somar 3 e depois 5 dá o mesmo que somar 5 e depois 3. Quando a ordem de duas operações não muda o resultado, dizemos que elas comutam. A palavra que os matemáticos usam para as estruturas em que tudo comuta é uma homenagem a Abel: abeliano. A última memória Depois de provar que a equação geral do quinto grau não tem fórmula, Abel quis saber quais equações têm. Em 1829, num dos últimos artigos que publicou no Jornal de Crelle, estudou uma família especial: as equações em que todas as raízes podem ser obtidas de uma delas, $x$, por funções racionais $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ que comutam entre si:

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O legado de Niels Henrik Abel

Abel deixou aos matemáticos trabalho para cento e cinquenta anos. — Frase atribuída a Charles Hermite Abel trabalhou como matemático por menos de oito anos. Nesse tempo, fechou a questão mais antiga da álgebra, deu rigor às séries, criou as funções elípticas e escreveu uma memória que só foi entendida inteiramente décadas depois da sua morte. O seu nome está hoje em mais lugares da matemática que o de quase qualquer outro: grupos abelianos, integrais abelianas, funções abelianas, variedades abelianas, o teorema de Abel, a soma de Abel, o teste de Abel.

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Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Abel, desenho de Johan Gørbitz, Paris, 1826: página de origem · domínio público. Primeiro volume do Jornal de Crelle, Berlim, 1826: página de origem · domínio público. Túmulo de Abel em Froland, foto de Karl Ragnar Gjertsen: página de origem · CC BY 4.0. Monumento a Abel em Oslo, escultura de Gustav Vigeland, foto de Wolfmann: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A figura da lemniscata dividida em oito arcos iguais é uma ilustração original. Os pontos foram calculados com a fórmula $r=\sqrt{\sqrt2-1}$ deduzida no post. A figura não tem texto e serve a todos os idiomas do site.

October 15, 2026 Iniciar leitura