Euler's Eyes
2026-10-15
尼尔斯·亨里克·阿贝尔的遗产
阿贝尔留给数学家们的工作，够他们忙上一百五十年。
— 据说出自夏尔·埃尔米特
阿贝尔作为数学家工作了不到八年。在这段时间里，他了结了代数中最古老的问题，为级数带来了严格性，创立了椭圆函数，还写下了一篇直到他死后几十年才被完全理解的论文。今天，他的名字出现在数学中的地方，几乎比任何人都多：阿贝尔群、阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔簇、阿贝尔定理、阿贝尔求和、阿贝尔判别法。
巴黎论文
阿贝尔 1826 年交给巴黎科学院、后来被柯西弄丢的那篇著作，包含一个巨大的结果。它表明，对于任何代数曲线，沿曲线的某些积分之和可以化为固定数目的积分，这个数目只取决于曲线。三十年后，黎曼把这个数称为曲线的亏格，即相应曲面上"洞"的个数。今天这个结果被称为阿贝尔定理，代数几何和黎曼曲面理论都由它发展而来。据说勒让德得知这个定理后，借用拉丁诗人贺拉斯的诗句，称它为 monumentum aere perennius，“比青铜更持久的纪念碑”。
手稿的故事几乎像一部小说。阿贝尔死后，挪威驻巴黎领事请科学院寻找这份文稿。柯西找到了它，1841 年发表，但有错误。在印刷过程中，原稿再次失踪。直到 1952 年，挪威数学家维戈·布伦才在佛罗伦萨一座图书馆里，在一位意大利收藏家的文件中重新找到它。
纪念碑与奖项
19 世纪末，挪威人索菲斯·李得知诺贝尔奖不设数学奖后，提议设立一个以阿贝尔命名的奖项。随着李在 1899 年去世，以及挪威与瑞典在 1905 年分离，这个想法渐渐搁浅。2002 年阿贝尔诞辰两百周年时，这个想法被重新提起：挪威政府设立了阿贝尔奖，2003 年首次颁给法国人让–皮埃尔·塞尔。今天它被视为数学界的诺贝尔奖。2015 年，它颁给了约翰·纳什和路易斯·尼伦伯格。
留下了什么
- 代数。 五次方程一般公式的不可能性、阿贝尔方程和交换群。
- 分析。 级数的严格性、任意指数的二项式级数，以及关于幂级数的阿贝尔定理。
- 椭圆函数。 积分的反演、双周期性和加法公式，与雅可比共同完成。
- 代数几何。 关于代数函数积分的阿贝尔定理，黎曼理论的根源。
- 古典几何。 用尺规等分双纽线，可分的数与圆相同。
要点回顾
- 尼尔斯·亨里克·阿贝尔生于 1802 年，卒于 1829 年。他的全部工作完成于 19 到 26 岁之间。
- 对于五次或更高次的一般方程，不存在用根式表示的公式：这就是阿贝尔–鲁菲尼定理。
- 二项式级数 $(1+x)^m=1+mx+\cdots$ 在 $|x|<1$ 时收敛；阿贝尔第一个对任意 $m$ 证明了这一点。
- 把积分 $\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$ 反过来，得到双纽线正弦，一个有两个周期（一实一虚）的函数。
- 平分双纽线每个四分之一段的点距中心 $\sqrt{\sqrt2-1}$，这是一个可作图的数。
- 当操作的顺序无关紧要时，群是阿贝尔群；群为阿贝尔群的方程可以用根式求解。
来源： Arild Stubhaug，Niels Henrik Abel and his Times（Springer，2000）· 阿贝尔奖，挪威科学与文学院 · 阿贝尔传记，MacTutor。