来源： FUVEST – 第二阶段测试，第二天 （问题 M01 至 M06），可在 FUVEST 集合 2025 中找到。

FUVEST 2025 的第二阶段在第二天提出了具体的话语问题 职业生涯； 数学测试有六个问题，M01 到 M06。每位候选人 只解决了你职业生涯的主题（六个问题，或者只是四个或 前三个）。第二阶段没有选择题答卷：FUVEST发表了一份 答题指南 与小组预期的答案。以下决议是我们的，每一项决议 使用本指南并通过第二条路径检查结果。

模板

问题 主题 答案
M01 线性系统：文具促销 b) R$ 32,00; c) 促销活动 I 和 III
M02 条件概率和相对风险 a) 0,025; b) ≈ 0,833; c) 145
M03 表格中的数字模式 a) $46 + 40n$; b) 10; c) $n$
M04 价格体系中的融资（PG 总和） a) 38; b) R$ 19.294,05; c) $-\log_{1{,}01} 0{,}62$
M05 级数和小数位 a) PA比率1/8； b) 2； c) $2^{b+1} - 1$
M06 雕塑中的三角学 a) 45°; b) $k = 2\tan\alpha$; c) 2,5 m

问题 M01：文具店的促销活动（线性系统）

陈述

一家文具店提供三种不同的促销活动：

作品 总价值 (R$)
促销一 2精装笔记本+1彩色铅笔盒+1笔组 86,00
优惠二 3精装笔记本+3彩色铅笔盒+3笔组 174,00
推广三 3精装笔记本+2彩色铅笔盒+2笔组 142,00

根据这些信息，回答：

a) 编写一个由三个方程组组成的方程组，其未知数 C、L 和 N 表示， 分别是精装本、彩笔盒、铅笔盒的价格 笔一套。

b) 仅考虑促销 II 和 III，铅笔盒的价格总和是多少 颜色和笔组？

c) 一盒彩色铅笔和一套钢笔的价格总和是相同的 三项促销活动的金额取决于精装笔记本的价格。认为 仅在两次促销活动中，精装笔记本的价格是相同的，即 这个价格大于一盒彩色铅笔和一套的价格之和 笔。在这种情况下，哪些促销活动与封面笔记本的价格相同？ 它持续吗？

解决

a) 每次促销都会给出一个等式（数量×价格，相加等于总价值）：

$$ \begin{cases} 2C + L + N = 86 \\ 3C + 3L + 3N = 174 \\ 3C + 2L + 2N = 142 \end{cases} $$

**答案(a)：**上述系统。

b) 根据促销 II 和 III 的方程式（甚至都是 $C$），我们减去 从第一个开始第二个：

$$(3C + 3L + 3N) - (3C + 2L + 2N) = 174 - 142 \quad\Rightarrow\quad L + N = 32$$

笔记本电脑在减法中消失，因为它在两次促销中都出现了 3 次。

答案 (b)： R$ 32,00。

c) 1。笔记本价格为何变化。拨打$K = L + N$。如果笔记本有 三个促销活动价格相同，我给$C + K = 58$，我给$2C + K = 86$， 然后是 $C = 28$ 和 $K = 30$。但随后 III 会给出 $3 \cdot 28 + 2 \cdot 30 = 144 \ne 142$。 (a) 项的系统不可能：笔记本电脑的价格不可能在所有三个中相同。

然后我们将每次促销中笔记本电脑的价格写为$C_{\text{I}}$、$C_{\text{II}}$和$C_{\text{III}}$：

$$ \begin{cases} 2C_{\text{I}} + K = 86 \\ 3C_{\text{II}} + 3K = 174 \\ 3C_{\text{III}} + 2K = 142 \end{cases} $$

2。测试三个可能的对。

  • I 和 II 相等 ($C$)：$2C + K = 86$ 和 $C + K = 58$。减去 $C = 28$ 和 $K = 30$。 这里 $C = 28 < 30 = K$：不起作用（笔记本电脑必须比 $K$ 更贵）。
  • I 和 III 相等 ($C$)：从 $2C + K = 86$ 到 $K = 86 - 2C$。在第三个中： $3C + 2(86 - 2C) = 142 \Rightarrow 172 - C = 142 \Rightarrow C = 30$, e $K = 26$. 这里$C = 30 > 26 = K$：发球。 （在促销 II 中，$3C_{\text{II}} + 78 = 174$，然后是 $C_{\text{II}} = 32$。）
  • II 和 III 相等 ($C$)：是项目 (b)：$K = 32$ 和 $3C + 64 = 142$，因此是 $C = 26$。 这里 $C = 26 < 32 = K$：不起作用。

答案 (c)： 促销活动 I 和 III（笔记本电脑均为 R$ 30,00；铅笔 + 钢笔 到 R$ 26,00）。

**会议：**促销 I：$2 \cdot 30 + 26 = 86$ ✔;促销三：$3 \cdot 30 + 2 \cdot 26 = 142$✔； 促销二：$3 \cdot 32 + 3 \cdot 26 = 174$ ✔.

要回顾，请参阅一次方程.

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问题 M02：相对风险（条件概率）

陈述

相对风险 (RR) 是一个统计术语，用于比较概率 特定事件发生的条件，假设一个群体暴露于 某些现象，而另一个则没有遇到相同的现象。就条款而言 数学家们，我们有：

$$RR = \frac{P(\text{evento} \mid \text{exposto})}{P(\text{evento} \mid \text{não exposto})}$$

一群人长期暴露在某种特定的环境中 可能代表某种疾病危险因素的化学制剂。 另一组人则没有遭受这种暴露。两组中都有个人 谁患了这种疾病，谁没有患这种疾病，如下表所示。

人们 随着疾病的 没有疾病的话 全部的
裸露 500 300 800
没有暴露 100 23.100 23.200
全部的 600 23.400 24.000

根据这些数据，估计是多少

a) 任何人患上这种疾病的概率是多少？

b) 一个人患上这种疾病后暴露于该病毒的概率？

c) 考虑到个人已经接触过该疾病，他们患上这种疾病的相对风险 化学剂？

解决

a) 在 24 000 个人中，600 患有以下疾病：

$$P(\text{doença}) = \frac{600}{24\thinspace 000} = \frac{1}{40} = 0{,}025$$

响应 (a)： 0,025 (2,5%)。

b) “鉴于您患了这种疾病”将宇宙限制为 600 个病人。 其中，500被曝光：

$$P(\text{exposto} \mid \text{doença}) = \frac{500}{600} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833$$

答案 (b)： $\frac{5}{6} \approx 0{,}833$（约 83,3%）。

c) 1。在接触者（800 人）中，500 患病：

$$P(\text{doença} \mid \text{exposto}) = \frac{500}{800} = 0{,}625$$

2。在未暴露的（23 200 人）中，100 生病了：

$$P(\text{doença} \mid \text{não exposto}) = \frac{100}{23\thinspace 200} = \frac{1}{232}$$

3。相对风险：

$$RR = \frac{500/800}{100/23\thinspace 200} = \frac{500}{800} \cdot \frac{23\thinspace 200}{100} = 0{,}625 \cdot 232 = 145$$

答案 (c)： $RR = 145$：接触过的人患此疾病的风险要高出 145 倍。

**注意：**在(b)项中，条件为“已患病”，因此分母为 600（患者总数），而不是 800（暴露患者总数）。交换两个给出 $500/800 = 0{,}625$，这是（c）项中使用的概率，而不是（b）项中使用的概率。

要回顾，请参阅[概率导论]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/prob/introprob/).

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问题 M03：数值表中的矩形

陈述

在一位老师鼓励学生的活动建议之后 课堂上通过数字表探索数学思维 在调查活动中，全班同学注意到了一些有趣的模式。

考虑一个具有 10 列的表，其中排列自然数 从第一行开始依次。在这张表中，老师突出了一个 矩形，如图：

随后，他将矩形元素的总和定义为 $S$，将模数定义为 $D$。 对角线元素的乘积之差。对于突出显示的矩形，我们有：

$$S = 6 + 7 + 16 + 17 = 46.$$$$D = |7 \times 16 - 6 \times 17| = |112 - 102| = 10.$$

如果移动这个矩形 右侧一列，我们将得到 $S = 50$，并且如果 被感动了 向下一行，我们将有 $S = 86$。

根据所提供的信息，回答：

a) 如果表格突出显示的矩形向下移动 $n$ 行，则 $S$ 的值？

b) 如果表格突出显示的矩形向下移动 $n$ 行，则 $D$ 的值？

c) 现在考虑该表是使用 $n$ 列构建的，即 $n \ge 2$。它是什么 最小元素为 $k$ 且具有 $k \ne pn$ ($p \in \mathbb{N}$) 的矩形的 $D$ 值？

解决

a) 在 10 列的表格中向下移动一行，将 10 添加到每个数字。降序 $n$行，每个4矩形编号增加$10n$：

$$S = (6 + 10n) + (7 + 10n) + (16 + 10n) + (17 + 10n) = 46 + 40n$$

用语句检查：对于$n = 1$，$S = 86$✔。

响应 (a)： $S = 46 + 40n$。

b) 元素变为 $6 + 10n$、$7 + 10n$、$16 + 10n$ 和 $17 + 10n$。致电 $m = 10n$：

$$(7 + m)(16 + m) - (6 + m)(17 + m) = (112 + 23m + m^2) - (102 + 23m + m^2) = 10$$

与 $m$ 的项相互抵消。

答案 (b)： $D = 10$，对于任何 $n$。

**数值检查：**对于$n = 2$，矩形为26、27、36、37和 $|27 \cdot 36 - 26 \cdot 37| = |972 - 962| = 10$ ✔。

c) 1。矩形。 对于 $n$ 列，$x$ 下面的数字是 $x + n$。如果 最小元素是$k$，矩形是
$k$ $k + 1$
$k + n$ $k + n + 1$

条件 $k \ne pn$ 保证 $k$ 不在最后一列，因此 $k + 1$ 是 就在 $k$ 旁边（同一行）。

2。对角线乘积之间的差异。

$$(k + 1)(k + n) - k(k + n + 1) = (k^2 + kn + k + n) - (k^2 + kn + k) = n$$

答案 (c)： $D = n$（列数）。

**会议：**使用$n = 10$和$k = 6$，公式给出$D = 10$，语句的值✔。

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问题 M04：价格体系中的融资

陈述

价格系统，也称为法国摊销系统，是一个模型 广泛用于融资，例如手机和汽车。主要 该系统的特点是，分期付款在整个期间都是固定的。 融资，即定期支付的金额自始至终相同。 Price系统中的融资部分由两部分组成：摊销和 兴趣。在这个系统中，随着时间的推移，支付的利息金额会减少 随着摊销金额的增加，维持总价值 常数部分，根据数学模型：

$$V = \frac{P}{(1+j)} + \frac{P}{(1+j)^2} + \frac{P}{(1+j)^3} + \cdots + \frac{P}{(1+j)^n} = \frac{P}{(1+j)}\left[1 + \frac{1}{(1+j)} + \frac{1}{(1+j)^2} + \cdots + \frac{1}{(1+j)^{n-1}}\right]$$

其中 $V$ 对应融资总额，$j$ 表示利率 每月收费，$n$ 是每月分期付款的次数，$P$ 是 每期分期付款。

$n$的值为整数，为融资分期数。 然而，当对此类问题进行数学建模时，人们可能会遇到不符合实际情况的值。 整数。例如，有些计算器即使模型值 从数学上来说，$n$ 不是整数，它们作为标准答案 $n$ 表示为 大于数学模型所得值的最小整数。例如， 考虑融资金额 R$19.000,00，将按利率收取 每月 1%，固定分期付款 R$500,00，计算器作为解决方案提供 $n = 49$。

a) 假设没有利息，即每月利率为0%，则有多少 R$500,00的分期付款能否还清R$19.000,00的融资？

b) 考虑每月1%的利率，固定分期付款R$500,00和$n = 49$， 使用所提出的数学模型计算获得的融资金额$V$。

c) 假设$n$不需要是所提出的数学模型中的整数，则找到 $n$ 融资金额为 R$19.000,00，将按固定分期付款方式支付 R$500,00，每月利率为 1%。

注意并采用：

  • 在(b)项中，如有必要，使用：​​$(1{,}01)^{-48} = 0{,}620260$； $(1{,}01)^{-49} = 0{,}614119$； $(1{,}01)^{-50} = 0{,}608039$。
  • 在(c)项中，答案可以用对数函数表示。

解决

a) 对于 $j = 0$，所有分母的值为 1，模型变为 $V = P + P + \cdots + P = nP$：

$$19\thinspace 000 = 500n \quad\Rightarrow\quad n = 38$$

答案 (a)： 38 分期付款。

b) **1。封闭公式。**括号内有一个$n$项的GP，首先 项 1 和比率 $q = \frac{1}{1+j}$。总和是$\dfrac{1 - q^n}{1 - q}$。如何 $1 - q = \dfrac{j}{1+j}$，变成

$$V = \frac{P}{1+j} \cdot \frac{1 - (1+j)^{-n}}{\frac{j}{1+j}} = \frac{P}{j}\left[1 - (1+j)^{-n}\right]$$

2. 更换 $P = 500$, $j = 0{,}01$ 和 $n = 49$， 和 $(1{,}01)^{-49} = 0{,}614119$:

$$V = \frac{500}{0{,}01}\left(1 - 0{,}614119\right) = 50\thinspace 000 \cdot 0{,}385881 = 19\thinspace 294{,}05$$

响应 (b)： $V \approx$ R$ 19.294,05。

（这是有道理的：通过 49 分期付款，您可以比 R$ 19.000,00 融资多一点， 分期付款 48 后，$50\thinspace 000 \cdot (1 - 0{,}620260) = 18\thinspace 987$ 会少一点。 因此计算器响应 $n = 49$。）

c) 对 $V = 19\thinspace 000$ 使用相同的公式：

$$19\thinspace 000 = 50\thinspace 000\left[1 - (1{,}01)^{-n}\right] \quad\Rightarrow\quad 1 - (1{,}01)^{-n} = 0{,}38 \quad\Rightarrow\quad (1{,}01)^{-n} = 0{,}62$$

以 1,01 为底计算对数：

$$-n = \log_{1{,}01} 0{,}62 \quad\Rightarrow\quad n = -\log_{1{,}01} 0{,}62 = \frac{\log 0{,}62}{\log(1{,}01)^{-1}}$$

响应 (c)： $n = -\log_{1{,}01} 0{,}62 \approx 48{,}04$。

会议： $n \approx 48{,}04$ 位于 48 和 49 之间，与第 (b) 项一致并与 从计算器回答$n = 49$（大于48,04的最小整数）。

要回顾，请参阅[复利和欧拉数]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/irracional/finance/numeroe/） 和对数的性质.

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问题 M05：2 的幂的商

陈述

考虑商 $(k_n) = \dfrac{n}{2^b}$，其中 $n, b \in \mathbb{N}^*$。

a) 对于 $b = 3$，$(k_n)$ 形成一个级数。表明所形成的级数是否为 算术或几何并提供比率值。

b) 如果$n$是偶数且$b \le 3$，那么$k_n$中的小数位数最多是多少？

c) 就 $b$ 而言，使得 $k_1 + k_2 + \cdots + k_n$ 为整数的最小 $n$ 是多少？

解决

a) 对于 $b = 3$、$k_n = \dfrac{n}{8}$：

$$(k_n) = \left(\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \ldots\right)$$

连续项之间的差始终为 $\frac{n+1}{8} - \frac{n}{8} = \frac{1}{8}$。 （不是 PG：$\frac{2/8}{1/8} = 2$，而是 $\frac{3/8}{2/8} = 1{,}5$。）

答案(a)： 算术比率$\frac{1}{8}$的级数。

b) 将 $n$ 对写为 $n = 2a$，并带有 $a \in \mathbb{N}^*$。

  • $b = 1$：$k_n = \dfrac{2a}{2} = a$，整数：无小数位。
  • $b = 2$: $k_n = \dfrac{2a}{4} = \dfrac{a}{2}$: 整数或以 ,5 结尾: 至多 1 位。
  • $b = 3$: $k_n = \dfrac{2a}{8} = \dfrac{a}{4}$: 除以 4 时可能得到的余数 结尾 ,00, ,25, ,5 或 ,75：最多 2 个位置（例如，$n = 2$ 给出 $k_2 = 0{,}25$）。

答案 (b)： 2 位小数。

c) 1。总和。 通过 $n$ 第一自然数的总和：

$$k_1 + k_2 + \cdots + k_n = \frac{1 + 2 + \cdots + n}{2^b} = \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{1}{2^b} = \frac{n(n+1)}{2^{b+1}}$$

2。当它是整数时。我们需要$2^{b+1}$除$n(n+1)$。像$n$和$n+1$ 是连续的，其中一个是奇数并且没有因子2。那么所有因素 $2^{b+1}$必须是偶数，且必须是$2^{b+1}$的倍数。

3。最小的$n$。$2^{b+1}$的最小正倍数是$2^{b+1}$本身。 可以是$n$或$n + 1$；最小的 $n$ 来自 $n + 1 = 2^{b+1}$：

$$n = 2^{b+1} - 1$$

响应 (c)： $n = 2^{b+1} - 1$。

会议： 对于 $b = 1$，公式给出 $n = 3$: $\frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 3$ （整数），而 $n = 1$ 和 $n = 2$ 给出 $0{,}5$ 和 $1{,}5$。对于 $b = 2$，给出 $n = 7$： $\frac{7 \cdot 8}{8} = 7$，并且从 1 到 6 的 $n$ 都不起作用（按数字检查）。

要回顾，请参阅[算术级数]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/natuais/progressao/progressao-aritimetica/).

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问题 M06：雕塑中的几何形状

陈述

一位造型艺术家通过切割边长为 10 米的正方形，创造了一个 金属制品如图1所示，其规划如图2所示。

观察图1和2回答：

a) 假设测量雕塑外部阴影的面积，表示为 三角形DMC，是三角形DAC面积的两倍，其尺寸是多少 角度α，如图1所示？

b) 假设DMC三角形的面积测量值是$k$乘以DMC三角形的面积测量值 三角 DAC，确定 $k$ 的值作为 α 的函数。

c) 假设角度为，线段 AB 在地面上的正交投影的尺寸是多少 该线段相对于地面的角度是60°？

注意并采用：

  • $\text{sen}(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
  • $\cos(60°) = \frac{1}{2}$

解决

阅读平面图（图 2）。 正方形的边长为 10 米。 D和C是两个顶点 在同一侧，然后$DC = 10$米。 A 点是正方形的中心（正方形的交点） 对角线，垂直），B 是 DC 相对边的中点，那么 $AB = 5$米。

**三角形DAC的面积。**对角线将正方形分成4个相等的三角形，因此

$$\text{Área}(DAC) = \frac{10^2}{4} = 25 \text{ m}^2$$

（或者：底边 $DC = 10$ 和高度等于从 A 到 DC 的距离，即 5: $\frac{10 \cdot 5}{2} = 25$。）

DMC 三角形（图 1）。 它位于地面上，D 角为直角，有腿 $MD$ 和 $DC = 10$。标识

$$\text{Área}(DMC) = \frac{MD \cdot 10}{2} = 5 \cdot MD \qquad \text{e} \qquad \tan\alpha = \frac{MD}{DC} = \frac{MD}{10}$$

a) DMC区域是25的两倍，即50：

$$5 \cdot MD = 50 \quad\Rightarrow\quad MD = 10$$$$\tan\alpha = \frac{10}{10} = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 45°$$

（DMC 三角形是等腰矩形，边等于 10。）

答案 (a)： α = 45°。

b) 现在 $5 \cdot MD = 25k$，然后 $MD = 5k$。因此

$$\tan\alpha = \frac{5k}{10} = \frac{k}{2} \quad\Rightarrow\quad k = 2\tan\alpha$$

响应 (b)： $k = 2\tan\alpha$。

会议： $\alpha = 45°$、$k = 2 \cdot 1 = 2$，是 (a) 项的两倍✔。

c) 线段 AB 的尺寸为 5 米，与地面的夹角为 60°。正交投影 $p$ 是 AB 构成的直角三角形中与 60° 角相邻的边，其投影 和垂直：

$$p = AB \cdot \cos 60° = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2{,}5 \text{ m}$$

响应 (c)： 2,5 m。

注意：在第 (c) 项中使用正弦可得出 $5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33$ m，即 AB 最高点相对于最低点的高度，而不是投影 在地面上。

要回顾，请参阅[直角三角形]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/irracional/geoirra/trigret/).

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