来源： FUVEST – 常识测试，版本 V1 和官方答案 从第一阶段 (17/11/2024) 开始，可在 FUVEST 集合 2025 中找到。

FUVEST 2025 的第一阶段是常识测试，其中 90 个问题来自 所有学科。这篇文章仅涵盖数学问题。编号 这里使用的是Proof V1；在版本V2、V3和V4中出现相同的问题 与其他数字。

模板

问题 主题 模板
16 百分比：坡道的坡度 C
17 平面上各点之间的距离 C
45 算术平均值 E
48 图表读数和百分比 D
52 余弦函数：图变换 D
69 模函数和抛物线 B
70 算术级数 A
75 圆锥体体积 A
76 圆柱体的体积和侧面积 D
77 圆的相对位置 E

问题 16：无障碍坡道的坡度（百分比）

陈述

建造可供轮椅使用者使用的坡道必须 遵循ABNT NBR 9050标准。本文件规定了坡道的倾斜度 必须取决于每个斜坡段的最大水平差，根据 下表：

每个坡道段的最大坡度和不平整度

水平差 $h$（单位：米） 允许斜率 $i$（%）
$1 < h \le 1{,}5$ $5$
$0{,}8 < h \le 1$ $5 < i \le 6{,}25$
$0 < h \le 0{,}8$ $6{,}25 < i \le 8{,}33$

建筑物、家具、空间和城市设备的可达性。在 https://www.prefeitura.sp.gov.br/cidade/ 中可用（已修改）。

斜坡的斜率 $i$（以百分比 (%) 表示）通过除以斜坡的高度 $h$ 来计算 坡道段的水平差（以米为单位）与水平投影长度的差值 $c$，以米为单位，并将结果乘以 100。下图显示了一个 两段坡道。

两段坡道的构造如下：

  • 第一段的水平投影为10米，倾斜度为6%；
  • 第二段的水平投影为 7 米，水平差为 0,5 米。

根据所提供的有关法规的内容，关于该法规的说法正确的是 这个斜坡是否足以达到无障碍标准？

  • A) 该坡道不合适，因为这两个路段不符合标准。
  • B) 坡道足够，因为两个部分都符合标准。
  • C) 该坡道不合适，因为第一段不符合标准。
  • D) 该坡道不合适，因为第二段不符合标准。
  • E) 坡道是足够的，因为虽然第二段不符合标准，但第一段符合标准。

解决

给定的公式是

$$i = \frac{h}{c} \cdot 100$$

并且板将每个斜坡带 $h$ 与一个斜坡带 $i$ 相关联。 对于每个段，我们需要找出不均匀的地方，看看它在木板的哪一行上。 跌倒并检查坡度是否在该线的范围内。

**1。第一段。**我们知道 $c = 10$ m 和 $i = 6$。不均匀度由以下公式得出：

$$6 = \frac{h}{10} \cdot 100 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{6 \cdot 10}{100} = 0{,}6 \text{ m}$$

作为$0 < 0{,}6 \le 0{,}8$，表的最后一行适用：斜率应 满足$6{,}25 < i \le 8{,}33$。但 $i = 6$ 不在该范围内 ($6 < 6{,}25$)。第一段不符合表格。

**2。第二段。**我们知道 $c = 7$ m 和 $h = 0{,}5$ m：

$$i = \frac{0{,}5}{7} \cdot 100 = \frac{50}{7} \approx 7{,}14$$

由于 $h = 0{,}5$ 也在 $0 < h \le 0{,}8$ 范围内，因此斜率必须满足 $6{,}25 < i \le 8{,}33$。 $7{,}14$ 在该范围内：第二段是 协议。

3。结论。 由于第一段，该坡道不适合。

答案：替代C。

谨防陷阱： 人们很容易认为“6% 的陡度低于 8,33%， 那太好了”并标记 B。问题要求使用给定的表格，并在其中 每个不平整带都有自己的斜率带； 6% 超出范围 对应于0,6米。官方答案是C。

要查看，请参阅百分比基础知识.

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问题 17：穿越 Rua da Consolação（两点之间的距离）

陈述

下图显示了中部地区 Rua da Consolação 的一个十字路口 圣保罗市，不同方向都有人行横道。这些 车道加快了过马路的速度。一个人从O点出发，想要到达 点 C。为此，请沿着连接 O 到 B 的轨道行驶，然后 使用连接 B 到 C 的条带。考虑一下中指示的点的坐标 以米为单位的数字为：O(0,0)、B(13,-15) 和 C(29,-8)。

设 $d$ 为该人在以下情况下将停止旅行的距离（以米为单位）： 选择穿过连接 O 和 C 的人行横道。在这种情况下， 正确的说法是：

  • A) $d < 2$
  • B) $2 \le d < 5$
  • C) $5 \le d \le 8$
  • D) $8 < d \le 11$
  • E) $11 < d$

解决

两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之间的距离由毕达哥拉斯定理给出：

$$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

1。路径 O → B：

$$OB = \sqrt{13^2 + (-15)^2} = \sqrt{169 + 225} = \sqrt{394} \approx 19{,}85$$

2。路径 B → C：

$$BC = \sqrt{(29 - 13)^2 + (-8 + 15)^2} = \sqrt{16^2 + 7^2} = \sqrt{256 + 49} = \sqrt{305} \approx 17{,}46$$

3。直接路径O→C：

$$OC = \sqrt{29^2 + (-8)^2} = \sqrt{841 + 64} = \sqrt{905} \approx 30{,}08$$

4。差异。 该人停止旅行的距离是

$$d = OB + BC - OC \approx 19{,}85 + 17{,}46 - 30{,}08 \approx 7{,}23$$

没有计算器，只需估算根：$19^2 = 361 < 394 < 400 = 20^2$， $17^2 = 289 < 305 < 324 = 18^2$ 和 $30^2 = 900 < 905$。值接近于 $19{,}8$、$17{,}5$和$30{,}1$以及$d$在7附近。

答案：替代C ($5 \le d \le 8$)。

复习请参见毕达哥拉斯定理.

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问题 45：男性和女性的预期寿命（算术平均值）

陈述

考虑到可以计算19岁时巴西的预期寿命， 大约为预期寿命之间的简单算术平均值 估计男性和女性的年龄相同。同样的事情也可以在 4 岁的时候完成 20 年。

根据 IBGE 数据，在2022中，巴西的预计预期寿命为 19岁为58，同龄男性的估计预期寿命为54,7。

众所周知，男性和女性的预期寿命之间存在差异 女性的年龄仍为 20 岁，并且预计预期寿命 这个年龄段的男性（EVH20) 为 53,8。

根据所提供的数据，选择能够满足期望的替代方案 19岁女性的估计预期寿命（EVM19）和期望 巴西的预计寿命为 20 岁（EVB20) 在 2022 中。

评估值19 评估板20
A) 54,7 54,7
B) 54,7 58
C) 60 54
D) 61,3 56
E) 61,3 57,1

解决

1。女性在 19 岁时的期望。 巴西的期望处于平均水平 男女之间：

$$58 = \frac{54{,}7 + M_{19}}{2} \quad\Rightarrow\quad M_{19} = 116 - 54{,}7 = 61{,}3$$

2。女性和男性之间的差异。 在 19 岁时：

$$61{,}3 - 54{,}7 = 6{,}6$$

声明称，这种差异在 20 年之后仍然存在。

3。 20 岁女性的期望。

$$M_{20} = 53{,}8 + 6{,}6 = 60{,}4$$

4。巴西在 20 年的期望。 再次是平均值：

$$\text{EVB}_{20} = \frac{53{,}8 + 60{,}4}{2} = \frac{114{,}2}{2} = 57{,}1$$

（另一种方式：由于差异相同，平均值始终为 $6{,}6 / 2 = 3{,}3$ 超出男性的期望：$53{,}8 + 3{,}3 = 57{,}1$。）

答案：替代E（61,3和57,1）。

注意陷阱： 替代方案 D 具有正确的 EVM 值19 (61,3)，但是一个 EVB20 错误的。仅仅做好第一部分是不够的。

要查看，请参阅位置测量.

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问题 48：牛屠宰（阅读图表和百分比）

陈述

下图显示了牛屠宰的演变和参与 男性和女性，按季度（用罗马数字表示），根据信息 由 IBGE 获得。

IBGE：研究理事会。农业统计协调。季度动物屠宰调查 2019-2024（改编）。

根据图中观察到的数据，下列说法正确的是：

  • A) 2023第一季度，屠宰的雄性和雌性数量差异小于2019第一季度。
  • B) 在 2023 年第一季度，被屠宰的雌性动物数量约为 2 百万头。
  • C) 在2021和2022第一季度，屠宰的雄性和雌性数量差异相等。
  • D) 在 2024 年第一季度，被屠宰的雌性动物数量约为 4,3 百万。
  • E) 2024第一季度，屠宰雌性的数量与2019第一季度相同。

解决

第一个图表给出了屠宰动物的总数（以百万为单位），第二个图表给出了 男性和女性的百分比。例如，女性人数为 女性比例×总数。所有替代方案都谈论第一季度，以及 这些季度的值写在图表中：

第一季度 总计（百万） 男性 女性
2019 7,93 53,4% 46,6%
2021 6,60 63,2% 36,8%
2022 7,01 60,5% 39,5%
2023 7,44 55,2% 44,8%
2024 9,30 53,8% 46,2%

1。备选方案A. 男性和女性之间的差异：

  • 2019：$7{,}93 \cdot (0{,}534 - 0{,}466) = 7{,}93 \cdot 0{,}068 \approx 0{,}54$万；
  • 2023：$7{,}44 \cdot (0{,}552 - 0{,}448) = 7{,}44 \cdot 0{,}104 \approx 0{,}77$万。

在 2023 中，差异更大。 A 为假。

2。备选方案 B. 2023 中的女性：$7{,}44 \cdot 0{,}448 \approx 3{,}33$ 百万，而不是 2 百万。 B 是假的。

3。备选方案C. 男性和女性之间的差异：

  • 2021：$6{,}60 \cdot (0{,}632 - 0{,}368) = 6{,}60 \cdot 0{,}264 \approx 1{,}74$万；
  • 2022：$7{,}01 \cdot (0{,}605 - 0{,}395) = 7{,}01 \cdot 0{,}210 \approx 1{,}47$万。

它们不一样。 C 为假。

4。替代方案 D. 2024 中的女性：

$$9{,}30 \cdot 0{,}462 \approx 4{,}30 \text{ milhões}$$

D 是正确的。

5。替代方案 E. 2019 中的女性：$7{,}93 \cdot 0{,}466 \approx 3{,}70$ 百万， 比 2024 的 4,30 万少得多。这是假的。

答案：替代D（约4,3百万女性）。

注意问题： 2019 (46,6%) 和 2024 中的女性百分比 (46,2%) 几乎相等，这导致了替代方案 E。但是动物的总数 屠宰量变化很大（从 7,93 到 9,30 百万），因此数量 女性则非常不同。

要查看，请参阅百分比基础知识.

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问题52：AM波和余弦函数

陈述

5 月 2024 南里奥格兰德州发生的洪水损坏了 通信基础设施。受影响民众已获知这一消息 通过电池供电的无线电调谐到 AM 波频率来与洪水相关， 谁的影响力更大。

AM 波通过涉及余弦函数的方程进行数学建模， 其自变量是时间$t$，它与频率相乘 $f$的波。

作为一个例子，我们可以考虑涉及调制过程的方程 中波：

$$s(t) = A\left[1 + k \thinspace m(t)\right]\cos(2\pi f t),$$

其中 $A$ 是幅度，$f$ 频率，$k$ 灵敏度常数 幅度和 $m(t)$ 包含信息的信号。

当频率$f$乘以3时，波长发生变化。 由于这种乘法，函数的图形上会发生什么变换 原余弦？

  • A) 垂直扩展。
  • B) 水平平移。
  • C) 水平扩展。
  • D) 水平收缩。
  • E) 垂直收缩。

解决

1。发生了什么变化。 将 $f$ 乘以 3 交换 $\cos(2\pi f t)$

$$\cos(2\pi \cdot 3f \cdot t) = \cos\big(3 \cdot (2\pi f t)\big)$$

换句话说，余弦参数乘以3。幅度$A$不变， 所以没有垂直扩展或收缩。

**2。对周期的影响。**余弦 $\cos(2\pi f t)$ 的周期是 $T = \dfrac{1}{f}$。 通常 $3f$，新周期是

$$T' = \frac{1}{3f} = \frac{T}{3}$$

每个完整的循环现在占据水平轴（轴的轴）上的空间的三分之一 时间）。该图被水平“挤压”。

3。一般规则。 将 $g(t)$ 替换为 $g(3t)$ 会水平压缩图形 因子3：先前出现在$t$中的值现在出现在$t/3$中。

答案：替代D（水平收缩）。

要小心陷阱：因子 3 乘以变量，这缩小了 水平图，尽管“乘以 3”的直觉表明扩展 （备选方案C）。没有翻译 (B)：$t$ 中没有添加任何内容。

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问题 69：带有模块 {#questao-69} 的函数图

陈述

在笛卡尔平面 $Oxy$ 中，最能代表函数的图形 $f(x) = |x^2 + 5x - 6| - 5x + 6$ 由下式给出

解决

为了取模块，我们需要知道$x^2 + 5x - 6$哪里是正数，哪里是负数。

1。源于模块内部。

$$x^2 + 5x - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x + 6)(x - 1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -6 \text{ ou } x = 1$$

抛物线 $x^2 + 5x - 6$ 向上凹，因此它是非负 $x \le -6$ 或 $x \ge 1$，$-6 < x < 1$ 为负。

2。对于 $x \le -6$ 或 $x \ge 1$ 模块不会更改任何内容：

$$f(x) = x^2 + 5x - 6 - 5x + 6 = x^2$$

3。对于 $-6 < x < 1$ 模块更改符号：

$$f(x) = -(x^2 + 5x - 6) - 5x + 6 = -x^2 - 10x + 12$$

它是一条凹向下且顶点位于 $x_v = -\dfrac{-10}{2 \cdot (-1)} = -5$ 的抛物线， 与 $f(-5) = -25 + 50 + 12 = 37$。

4。拼接点。 $f(-6) = 36$ 和 $f(1) = 1$（两个公式给出相同的值， 所以图是连续的）。

5。组装图表。

  • $-6$左边：抛物线$y = x^2$的一部分，上升很多（$f(-7) = 49$）；
  • $-6$和$-5$之间：从36上升到局部最大值37；
  • $-5$和$1$之间：从37下降到1，经过$f(0) = 12$；
  • $1$ 的右侧：抛物线 $y = x^2$，再次上升。

图形始终位于$x$轴上方，$x = -6$附近有一个小“峰值” （局部最大值位于 $(-5, 37)$），在 12 处切削 $y$ 轴，最小值位于 $(1, 1)$ 处。 正是图B。

答案：替代B。

要小心陷阱： 图 D 是整个抛物线 $y = x^2$，即 这是通过忘记模块而获得的（没有它，$x^2 + 5x - 6 - 5x + 6 = x^2$ 代表所有 $x$）。 图C是B在$x$轴上的反映，负值，这是不可能的 在这里，因为 $f(x) \ge 0$ 在两个部分中。

要查看，请参阅 2 次方程.

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问题 70：通过添加 PA 项形成的序列

陈述

令 $(a_n)$ 为等差数列，其第一项为 $a_1$，比率为 $r$， 都是实数。可以构造另一个序列 $(b_n)$，其中 第一项是实数 $b_1$ 并具有以下形成定律

$$b_{n+1} = b_n + a_n,$$

其中 $n > 0$ 是自然数。

例如，如果 $b_1 = 0$ 和

$$(a_n) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots),$$

有

$$(b_n) = (0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots).$$

根据这些信息，选择 $a_1$ 和 $r$ 的值，以便 $(b_n)$也是比率$r'$的算术级数。在这些条件下，就是 正确的说法是：

  • A) $r' = a_1$
  • B) $r' = 2a_1$
  • C) $r' = r$
  • D) $r' = 2r$
  • E) $r' = b_1 - a_1$

解决

**1。 $(b_n)$连续项之间的差。**由形成规律可知：

$$b_{n+1} - b_n = a_n$$

2. 条件 $(b_n)$ 成为一名 PA。 序列是理性的PA $r'$ 当差异 连续项之间始终相同， $r'$。所以我们需要

$$a_n = r' \quad \text{para todo } n$$

换句话说，$(a_n)$ 必须是常量：$a_1 = a_2 = a_3 = \ldots$，这需要 $r = 0$。

3。原因。 对于 $r = 0$，$(a_n)$ 的所有项都值 $a_1$，并且

$$r' = b_{n+1} - b_n = a_1$$

通过示例检查： $a_1 = 2$、$r = 0$ 和 $b_1 = 5$ 给出 $(a_n) = (2, 2, 2, \ldots)$ $(b_n) = (5, 7, 9, 11, \ldots)$，比例为$2 = a_1$的PA。

答案：替代A ($r' = a_1$)。

注意陷阱： 替代 C ($r' = r$) 似乎很自然，但如何 $r$ 需要是 0，这会说 $(b_n)$ 是常数，只有 $a_1 = 0$ 才会发生这种情况。 声明中的示例表明，一般来说，$(b_n)$ 不是 PA（0、1、4、9、… 是 完美的正方形）。

要回顾，请参阅[算术级数]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/natuais/progressao/progressao-aritimetica/).

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问题 75：容器的容量（锥形行李箱）

陈述

一位产品设计师想要制造一个如下图所示的花瓶。

已知花瓶的底部和顶部是一个半径为 $R$ 且尺寸为 10 厘米的圆， 中心部分是一个半径为 $r$ 为 5 厘米的圆，测量值 $h$ 为 12 厘米。 该容器的容积是多少立方厘米？

  • A) $1400\pi$
  • B) $2100\pi$
  • C) $2400\pi$
  • D) $2600\pi$
  • E) $2800\pi$

解决

花瓶由两个相等的锥形树干组成，并由较小的底座连接起来：每个 具有较大的底面半径 $R = 10$、较小的底面半径 $r = 5$ 和高度 $h = 12$。

1。截头圆锥体的体积。

$$V_{\text{tronco}} = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right) = \frac{\pi \cdot 12}{3}\left(100 + 50 + 25\right) = 4\pi \cdot 175 = 700\pi$$

**2。用另一种方式检查。**树干是一个大圆锥体减去一个小圆锥体。 当半径以 12 厘米为单位从 10 下降到 5 时，大圆锥体的高度为 24，小圆锥体的高度为 12：

$$\frac{1}{3}\pi \cdot 10^2 \cdot 24 - \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 800\pi - 100\pi = 700\pi$$

**3。容器的体积。**有两个树干：

$$V = 2 \cdot 700\pi = 1400\pi \text{ cm}^3$$

答案：替代A ($1400\pi$ cm3)。

要小心陷阱： 将每一半视为半径为 10 的圆柱体，给出 $2 \cdot \pi \cdot 100 \cdot 12 = 2400\pi$（替代方案 C），忽略缩小 中间的花瓶。

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问题76：圆柱体的体积和侧面积

陈述

考虑一个高度为 $h > 0$ 的圆柱体 $C$，其圆周半径、顶部和 从基数开始，为$r > 0$；一个圆柱体 $C_1$，其半径等于 $C$，高度等于 $\frac{h}{2}$；以及一个圆柱体 $C_2$，其高度为 $h$，半径等于 $\frac{r}{2}$。

$V$、$V_1$ 和 $V_2$ 是体积，$A$、$A_1$ 和 $A_2$ 是侧面面积 分别为 $C$、$C_1$ 和 $C_2$ 的气缸，下列说法正确的是：

  • A) $V = V_1 + V_2$ e $A = A_1 + A_2$
  • B) $V = V_1 + V_2$ e $A = A_1 + 2A_2$
  • C) $V = V_1 + 2V_2$ e $A = A_1 + 2A_2$
  • D) $V = V_1 + 2V_2$ e $A = A_1 + A_2$
  • E) $V = 2V_1 + 2V_2$ e $A = 2A_1 + 2A_2$

解决

对于半径 $\rho$ 和高度 $H$ 的圆柱体：体积 $\pi \rho^2 H$ 和侧面积 $2\pi \rho H$。

1. 气缸 $C$ （射线 $r$， 高度 $h$):

$$V = \pi r^2 h, \qquad A = 2\pi r h$$

2. 气缸 $C_1$ （射线 $r$， 高度 $h/2$):

$$V_1 = \pi r^2 \cdot \frac{h}{2} = \frac{V}{2}, \qquad A_1 = 2\pi r \cdot \frac{h}{2} = \pi r h = \frac{A}{2}$$

3. 气缸 $C_2$ （射线 $r/2$， 高度 $h$):

$$V_2 = \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 h = \frac{\pi r^2 h}{4} = \frac{V}{4}, \qquad A_2 = 2\pi \cdot \frac{r}{2} \cdot h = \pi r h = \frac{A}{2}$$

4。测试关系。

  • 卷：$V_1 + 2V_2 = \dfrac{V}{2} + \dfrac{2V}{4} = V$。 ✔（E $V_1 + V_2 = \frac{3V}{4} \ne V$。）
  • 区域：$A_1 + A_2 = \dfrac{A}{2} + \dfrac{A}{2} = A$。 ✔（E $A_1 + 2A_2 = \frac{3A}{2} \ne A$。）

答案：替代D（$V = V_1 + 2V_2$和$A = A_1 + A_2$）。

谨防陷阱：将半径减半会将体积除以4 （半径显示为平方），但它仅将侧面积除以2。谁来治疗 两个相同的方式属于A或C。

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问题 77：笛卡尔平面中的两个圆

陈述

关于笛卡尔平面 $Oxy$，以下方程是正确的： $x^2 + y^2 - 4x = -3$和$x^2 + y^2 - 4y = -3$代表

  • A) 半径大小相同且相交于两点的两个圆。
  • B) 两个具有不同测量半径且相交于两点的圆。
  • C) 相交于一点的两个圆。
  • D) 两个不相交的同心圆。
  • E) 两个具有不同中心且不相交的圆。

解决

1。完成第一个方程中的平方。

$$x^2 - 4x + 4 + y^2 = -3 + 4 \quad\Rightarrow\quad (x - 2)^2 + y^2 = 1$$

中心周长 $(2, 0)$ 和半径 1。

2。完成第二个方程中的平方。

$$x^2 + y^2 - 4y + 4 = -3 + 4 \quad\Rightarrow\quad x^2 + (y - 2)^2 = 1$$

中心周长 $(0, 2)$ 和半径 1。

3。中心之间的距离。

$$d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$$

4。相对位置。 半径之和为 $1 + 1 = 2$。像$d \approx 2{,}83 > 2$一样， 圆周是外部：它们不接触。中心不一样 （它们不同心）。

**通过代数检查：**减去方程$-4x + 4y = 0$，即$y = x$。 将第一个：$2x^2 - 4x + 3 = 0$ 替换为 $\Delta = 16 - 24 = -8 < 0$。 没有共同点。

答案：替代E。

**小心陷阱：**它们都有相同的半径，这会吸引 替代方案 A. 但半径相等并不能保证相交：中心相距较远 太多了。

要查看，请参阅周长.

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