来源： FUVEST – 第二阶段测试，第二天 （问题 M01 至 M06）和文件 预期方法。

FUVEST 2023的第二阶段持续了两天。第一天是葡萄牙语和写作；在 第二天，测试每个科目都有 6 个问题，数学从 M01 至 M06。每个候选人只回答了他们职业生涯的主题（在 有些职业，只有每个科目的第一个问题）。

FUVEST没有发布第二阶段的模板；决议是我们的。她透露 一份“预期方法”文件，其中包含候选人的预期路径。 下面的每个分辨率均由第二条路径检查并与此进行比较 文档。

模板

问题 主题 答案
M01 各部分相关功能：运费 a）$f_A(x) = 4x + 30$； b）$15 < x < 45$； c) 190千克和10千克，或150千克和50千克
M02 二次函数 a) $a = 1$、$b = c = 0$； b) $c = 12$； c) $b \leq -5$ 或 $b \geq 5$
M03 计数函数和概率 a) 256; b) 76; c) $\frac{91}{144}$
M04 切圆和 PG a) 6; b) $\frac{1}{3}$; c) $18\pi$
M05 不等式：NBR 阶梯 9077 a）$31 \leq L \leq 32$； b) 15步长为16,8厘米×30,4厘米； c) 最大。 $\frac{2}{3}$，分钟。 $\frac{1}{2}$
M06 复数 a) $b = -2$; b) $z = \frac{3}{2} - 2i$; c) $a < 2$, $a \neq 0$

问题M01：两家快递公司的资费（相关功能）

陈述

两家货运公司 $A$ 和 $B$ 是竞争对手。公司 $A$ 每公斤订单收取 R$ 4,00 加上 R$ 30,00 作为固定费用。已经是 对于以下订单，公司的关税 $B$ 为每公斤 R$ 6,00，无固定费用 最多 30 公斤；对于超过 30 公斤的订单，公司 $B$ 收取 R$ 2,00 费用 每公斤，另加固定费用 R$ 120,00。

a) 给出描述公司 $A$ 收取的关税的函数表达式 订单重量$x$。

b) 对于哪个重量范围，从公司订购交货更便宜 $A$ 比公司$B$？

c) 客户请求两份订单：一份由公司交付 $A$，还有另一个， 由公司 $B$ 提供，总重量为 200 公斤。有哪些可能的方法 在两家公司之间分配这个权重，知道总运费 是来自 R$ 850,00 吗？

解决

a) 公司 $A$ 按每公斤收取 4 雷亚尔加上 30 固定费用：

$$f_A(x) = 4x + 30 \quad (x \geq 0)$$

响应 (a)： $f_A(x) = 4x + 30$。

b) $B$ 关税按以下部分定义：

$$ f_B(x) = \begin{cases} 6x, & 0 \leq x \leq 30 \\ 2x + 120, & x > 30 \end{cases} $$

让我们求解每个部分中的 $f_A(x) < f_B(x)$。

  • 致 $0 \leq x \leq 30$： $4x + 30 < 6x \iff 30 < 2x \iff x > 15$。在这一部分中： $15 < x \leq 30$.
  • 致 $x > 30$： $4x + 30 < 2x + 120 \iff 2x < 90 \iff x < 45$。在这一部分中： $30 < x < 45$.

将两个部分放在一起：$15 < x < 45$。

在极端情况下，比率是并列的：$f_A(15) = f_B(15) = 90$ 和 $f_A(45) = f_B(45) = 210$。 （FUVEST 方法文件提出了 封闭范围 $[15, 45]$，其中包括这些关系。）

答案 (b)： 公司 $A$ 对于重量在 15 公斤之间的订单更便宜 和 45 千克 ($15 < x < 45$)；在 15 kg 和 45 kg 中，它们的收费相同。

c) 设$x$为公司$B$发送的重量；因此 $A$ 需要 $200 - x$ 公斤。 我们需要

$$f_A(200 - x) + f_B(x) = 850, \qquad f_A(200 - x) = 4(200 - x) + 30 = 830 - 4x.$$
  • 如果 $0 \leq x \leq 30$： $830 - 4x + 6x = 850 \iff 2x = 20 \iff x = 10$。好的， 因为$10 \leq 30$。
  • 如果 $x > 30$： $830 - 4x + 2x + 120 = 850 \iff 950 - 2x = 850 \iff x = 50$。 因此，$50 > 30$有效。

会议：

公司 $A$ 公司 $B$ $A$ 费用 $B$ 费用 全部的
190 公斤 10 公斤 $4 \cdot 190 + 30 = 790$ $6 \cdot 10 = 60$ 850
150 公斤 50 公斤 $4 \cdot 150 + 30 = 630$ $2 \cdot 50 + 120 = 220$ 850

答案 (c)： 有两种方法：公司 $A$ 的 190 公斤和 $B$ 的 10 公斤，或者 150 千克（由公司 $A$）和 50 千克（由 $B$）。

**注意：**在 FUVEST 预期方法文件的最终表格中， 列显示互换（公司 $A$ 为 10 kg 和 50 kg）。在您自己的帐户上 该文档中，$x$是公司的权重$B$，上面的会议表明 $A$ 的 10 千克和 $B$ 的 190 千克将花费 $70 + 500 = 570$ 雷亚尔，而不是 850。

要回顾，请参阅一级函数.

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问题 M02：抛物线、三角形和余弦方程（二次函数）

陈述

考虑 $a, b, c \in \mathbb{R}$ 和给定函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 由$f(x) = ax^2 + bx + c$。

a) 确定$a$、$b$和$c$的值，使得$f(1) = 1$、$f(0) = 0$和 $f(-1) = 1$.

b) 对于$a = -1$和$b = 4$，确定$c$的值，使得 图中的三角形 $ABV$ 等于 32 a.u.，其中 $V$ 是抛物线的顶点 由$f$表示。

c) 考虑 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 由 $g(t) = \cos t$ 给出的函数。硒 $a = 3$和$c = -8$，确定方程$f(g(t)) = 0$对于$b$的哪些值 至少有一个实数解。

解决

a) 替换三个点：

  • $f(0) = c = 0$;
  • $f(1) = a + b + c = 1$，然后$a + b = 1$；
  • $f(-1) = a - b + c = 1$，然后 $a - b = 1$。

添加最后两个：$2a = 2$，$a = 1$；然后$b = 0$。函数是 $f(x) = x^2$，实际上相当于 $x = \pm 1$ 中的 1 和 $x = 0$ 中的 0。

响应 (a)： $a = 1$、$b = 0$、$c = 0$。

b) 对于 $a = -1$ 和 $b = 4$：$f(x) = -x^2 + 4x + c$。

1。顶点。 $x_V = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{-2} = 2$ 和 $y_V = f(2) = -4 + 8 + c = 4 + c$。然后$V = (2, 4 + c)$，从图中， $A = (2, 0)$是$V$垂直的脚。

2。点 $B$（最大根）：$-x^2 + 4x + c = 0 \iff x^2 - 4x - c = 0$，以及

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4c}}{2} = 2 \pm \sqrt{4 + c}.$$

然后$B = (2 + \sqrt{4 + c}, 0)$。

3。面积。 三角形 $ABV$ 是 $A$ 中的一个矩形，有边 $AB = \sqrt{4 + c}$ 和 $AV = 4 + c$：

$$\frac{\sqrt{4 + c} \cdot (4 + c)}{2} = 32 \iff (4 + c)^{3/2} = 64 \iff 4 + c = 64^{2/3} = 16 \iff c = 12.$$

**会议：**与 $c = 12$、$f(x) = -x^2 + 4x + 12 = -(x - 6)(x + 2)$。所以 $V = (2, 16)$、$A = (2, 0)$、$B = (6, 0)$，区域为$\frac{4 \cdot 16}{2} = 32$。

响应 (b)： $c = 12$。

c) 现在 $f(x) = 3x^2 + bx - 8$。由于 $g(t) = \cos t$ 假设全部 $[-1, 1]$ 的值（并且只有它们），方程 $f(\cos t) = 0$ 有解，如果，并且 仅当 $f$ 在范围 $[-1, 1]$ 中至少有一个根时。

1。根具有相反的符号。 根的乘积是 $\frac{c}{a} = -\frac{8}{3} < 0$，则有一个负根$x_1$和一个正根 $x_2$（判别式 $b^2 + 96$ 始终为正）。

**2。当其中一个落入$[-1, 1]$时。**像$a = 3 > 0$和$f(0) = -8 < 0$一样， 抛物线位于根之间的轴下方。像这样：

  • 正根为 $\leq 1$ 当且仅当 $f(1) \geq 0$: $3 + b - 8 \geq 0 \iff b \geq 5$；
  • 负根为 $\geq -1$ 当且仅当 $f(-1) \geq 0$: $3 - b - 8 \geq 0 \iff b \leq -5$。

第二条路径（根公式）： $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 + 96}}{6}$。 当$\sqrt{b^2 + 96} \leq 6 + b$时，正根为$\leq 1$；与 $b \geq -6$ 和 平方，$b^2 + 96 \leq 36 + 12b + b^2 \iff b \geq 5$。根据对称性， 当$b \leq -5$时，负数为$\geq -1$。例如，对于 $b = 5$： $3x^2 + 5x - 8 = (x - 1)(3x + 8)$和$x = 1 = \cos 0$是根。

响应 (c)： $b \leq -5$ 或 $b \geq 5$（即 $|b| \geq 5$）。

要查看，请参阅 2 次方程.

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问题 M03：计算函数和不动点

陈述

考虑到$A = \\{1, 2, 3, 4\\}$和$B = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$，

a) 有多少个函数 $f: A \to A$（不一定是满射）？

b) 对于所有函数，有多少个函数 $f: B \to B$ 满足 $f(f(n)) = n$ $n \in B$?

c) 随机选择一个双射函数$f: B \to B$，什么是 $f$ 具有至少一个不动点的概率？

**注意并采用：**我们说$n \in B$是$f$和$f(n) = n$的不动点。

解决

a) 每个 4 域元素都可以转到任何 4 该范围的元素独立：

$$4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4 = 256.$$

答案(a)： 256 函数。

b) 如果 $f(f(n)) = n$，则 $f$ 是双射的，并且对于每个 $n$，或者 $f(n) = n$（定点），或$f(n) = m \neq n$和$f(m) = n$（两个改变 地点）。然后 $f$ 由哪些元素对之间交换来确定 是的；其余部分保持固定。按对数计数：

  • 0 对： 只是身份：1。
  • 1 对： 从 6: $C_{6,2} = 15$ 中选择 2。
  • **2对：**选择4元素并将它们分成2对： $C_{6,4} \cdot 3 = 15 \cdot 3 = 45$（4 元素形成 3 不同的配对）。
  • 3 对： 将 6 拆分为 3 对：$5 \cdot 3 \cdot 1 = 15$（元素 1 选择 你的一对 5 路，剩下的最小的从 3 中选择，最后一对是 决定）。
$$1 + 15 + 45 + 15 = 76.$$

答案 (b)： 76 函数。

c) $B$ 在 $B$ 上有 $6! = 720$ 个双射函数。比较容易数 互补：双射没有定点（称为混沌排列 或混乱）。根据包含排除原理，它们的个数为

$$D_6 = 6!\left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!}\right) = 720 - 720 + 360 - 120 + 30 - 6 + 1 = 265.$$

然后有 $720 - 265 = 455$ 个具有至少一个不动点的双射，并且

$$P = \frac{455}{720} = \frac{91}{144} \approx 0{,}632.$$

第二条路径（重复）： 混乱满足 $D_n = (n - 1)(D_{n-1} + D_{n-2})$、$D_1 = 0$ 和 $D_2 = 1$。因此 $D_3 = 2$、$D_4 = 3 \cdot 3 = 9$、$D_5 = 4 \cdot 11 = 44$ 和 $D_6 = 5 \cdot 53 = 265$，相同的值。 （我们也通过电脑检查， 列出 720 排列：455 有不动点，并且 76 函数满足 b 项。）

响应 (c)： $\dfrac{91}{144}$。

要回顾，请参阅[等概率事件]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/prob/eventoequi/).

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问题 M04：等比级数中的切圆

陈述

考虑圆 $C, C_1, C_2, C_3, \ldots, C_n, \ldots$ 和直线 $s$ 满足以下性质：

  • 圆 $C_1$ 的圆心为 $(0, 0)$，半径为 $r = 4$。对方的中心 圆属于 $Ox$ 轴。
  • 圆$C_2$与$C_1$和$C_3$相切，圆$C_3$为 与 $C_2$ 和 $C_4$ 相切，依此类推。
  • 直线 $s$ 与每个圆 $C_n$ 到 $n \geq 1$ 相切。
  • 连接$C_1$中心与$s$接触$C_1$点的线段 与 $Ox$ 轴成 $60^\circ$ 角度。
  • 圆 $C$ 在点 $Q = (-4, 0)$ 处与 $C_1$ 相切并经过 点 $P = (x_0, 0)$。

根据这些信息，

a) 确定圆的半径 $C$。

b) 给定 $n \geq 1$，确定圆半径之间的比率 $C_{n+1}$ 和 $C_n$。

c) 求图中阴影区域的面积。

解决

a) 圆圈$C_n$越来越小，并在点$P$处累积， 其中直线 $s$ 与轴 $Ox$ 相切（见图）。

设$T$为$s$接触$C_1$和$O = (0, 0)$的点。半径 $OT$ 为 垂直于切线，则三角形 $OTP$ 在 $T$ 处直角，有 $OT = 4$ 和角度 $T\hat{O}P = 60^\circ$。像这样

$$\cos 60^\circ = \frac{OT}{OP} \iff \frac{1}{2} = \frac{4}{x_0} \iff x_0 = 8.$$

从 $(-4, 0)$ 到 $(8, 0)$ 的线段 $QP$ 的直径为 $C$（这两个点是 在 $Ox$ 轴上，该轴对称地穿过 $C$ 的中心）。所以直径测量为 12 半径测量为 6。

答案(a)：$C$的半径是6。

b) 在三角形 $OTP$ 中，$P$ 处的角度为 $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$。同样适用于 每个$C_n$：如果$r_n$是半径，$d_n$是$C_n$中心到$P$的距离，则 以圆心构成三角形，$s$和$P$的切点为 角度从 $30^\circ$ 到 $P$ 的矩形，则

$$\text{sen } 30^\circ = \frac{r_n}{d_n} \iff d_n = 2r_n.$$

（对于 $C_1$：$d_1 = 8 = 2 \cdot 4$。）由于 $C_n$ 和 $C_{n+1}$ 是切线 外部有中心在轴上，中心之间的距离是 辐条：

$$d_n - d_{n+1} = r_n + r_{n+1} \iff 2r_n - 2r_{n+1} = r_n + r_{n+1} \iff r_n = 3r_{n+1}.$$

响应 (b)： $\dfrac{r_{n+1}}{r_n} = \dfrac{1}{3}$。

c) 阴影区域是 $C$ 的内部减去所有 $C_n$。

  • $C$的区域：$\pi \cdot 6^2 = 36\pi$。
  • 光线形成 PG $4, \frac{4}{3}, \frac{4}{9}, \ldots$；这些区域形成 PG $16\pi, \frac{16\pi}{9}, \frac{16\pi}{81}, \ldots$，比率$\frac{1}{9}$。总和 无穷大是
$$\sum_{n=1}^{\infty} \pi r_n^2 = \frac{16\pi}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{16\pi}{\frac{8}{9}} = 18\pi.$$

阴影面积：$36\pi - 18\pi = 18\pi$。

**第二种方式（数值会议）：**添加以下区域 50 第一个圆圈，$36\pi - \sum \pi r_n^2 \approx 56{,}549 \approx 18\pi$。 您还可以使用数字检查项目 b：$r_2 = \frac{4}{3}$ 给出 $d_2 = \frac{8}{3}$，实际上是$d_1 - d_2 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} = 4 + \frac{4}{3}$。

响应 (c)： $18\pi$ u.a.

要查看，请参阅[圆形区域]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/irracional/geoirra/areacirculo/).

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问题 M05：梯子上的台阶（不等式）

陈述

根据 NBR 9077 标准，楼梯的所有台阶必须具有相同的材质 高度和宽度相同。此外，用$L$表示台阶的宽度和 通过 $A$ 你的身高（均以厘米为单位），必须满足以下不等式 满意：

$$ \begin{aligned} 63 \leq 2A + L &\leq 64 \\ 16 \leq A &\leq 18 \end{aligned} $$

a) 如果是$A = 16$，那么$L$可能的值有哪些？

b) 联排别墅一层的高度为 2,52 米，从一层开始测量 到另一个。建筑师设计的楼梯具有最大的长度（总和） 步宽）可能，尊重上述标准。这样， 楼梯有多少级台阶，每级台阶的高度和宽度是多少？

c) 角的正切值的最大和最小可能值是多少 按照这个标准建造的楼梯的坡度？

**注意并采用：**该图仅是示意性的，并不代表阶梯 陈述。

解决

a) 与 $A = 16$：$63 \leq 32 + L \leq 64 \iff 31 \leq L \leq 32$。

答案 (a)： $L$ 可以是 31 cm 和 32 cm 之间的任意值 ($31 \leq L \leq 32$)。

b) 1。步数。 $n$ 步数相等，每个步数都有一个高度 $A = \frac{252}{n}$ 厘米。标准要求$16 \leq \frac{252}{n} \leq 18$，即

$$\frac{252}{18} \leq n \leq \frac{252}{16} \iff 14 \leq n \leq 15{,}75.$$

由于$n$是整数，因此$n = 14$或$n = 15$。

2。每种情况的宽度更大。 长度 $n \cdot L$ 为最大 如果可能，$L$ 应是允许的最大值：$2A + L = 64$ 或 $L = 64 - 2A$。

步骤 $n$ 高度 $A = 252/n$ 最大宽度$L = 64 - 2A$ 长度 $n \cdot L$
14 18 厘米 28 厘米 $14 \cdot 28 = 392$ 厘米
15 16,8 厘米 30,4 厘米 $15 \cdot 30{,}4 = 456$ 厘米

最长长度为 15 步。

会议： $2 \cdot 16{,}8 + 30{,}4 = 64$ 和 $16 \leq 16{,}8 \leq 18$。正确的。

答案 (b)： 15 级台阶，每级高度为 16,8 厘米，宽度为 30,4 厘米。

c) 梯子的斜率是每一步的斜率：$\tan \alpha = \dfrac{A}{L}$。

  • **最大切线：**我们希望 $A$ 大，$L$ 小。根据标准， $L \geq 63 - 2A$，然后 $\dfrac{A}{L} \leq \dfrac{A}{63 - 2A}$。这个分数 随着 $A$ 增长（分子增大，分母减小），因此最大值为 $A = 18$: $\dfrac{18}{63 - 36} = \dfrac{18}{27} = \dfrac{2}{3}$.
  • **最小切线：**我们希望 $A$ 小而 $L$ 大。像$L \leq 64 - 2A$一样， $\dfrac{A}{L} \geq \dfrac{A}{64 - 2A}$，也随着$A$增长；最小值是在 $A = 16$: $\dfrac{16}{64 - 32} = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2}$.

两个值均已达到：$(A, L) = (18, 27)$ 和 $(A, L) = (16, 32)$ 满足 规范。

**第二种方式：**将$L = \frac{A}{t}$写成$t = \tan \alpha$，条件 $63 \leq 2A + \frac{A}{t} \leq 64$ 转 $\frac{63}{A} - 2 \leq \frac{1}{t} \leq \frac{64}{A} - 2$。的最高可能值 $\frac{1}{t}$ 是 $\frac{64}{16} - 2 = 2$（因此是 $t \geq \frac{1}{2}$），最小的是 $\frac{63}{18} - 2 = \frac{3}{2}$（然后是$t \leq \frac{2}{3}$）。相同的结果。

**答案(c)：**最大的切线是$\dfrac{2}{3}$，最小的切线是$\dfrac{1}{2}$。

要回顾，请参阅实数不等式.

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问题 M06：实部、模数和周长（复数）

陈述

复数的形式为 $z = x + yi$，其中 $x, y \in \mathbb{R}$ 和 $i^2 = -1$。

a) 确定$b \in \mathbb{R}$的值，使得数字的实部 复数 $\dfrac{2 + bi}{1 + i}$ 等于 0。

b) 确定方程 $|z| - z = 1 + 2i$ 的解。

c) 确定$a \in \mathbb{R}$、$a \neq 0$的值，使得方程

$$az\bar{z} + (1 + i)z + \overline{(1 + i)z} + 1 = 0$$

描述笛卡尔平面中的圆。

解决

a) 将分子和分母乘以分母的共轭：

$$\frac{2 + bi}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{2 - 2i + bi - bi^2}{1 - i^2} = \frac{(2 + b) + (b - 2)i}{2}.$$

实部为 $\dfrac{2 + b}{2}$，当 $b = -2$ 时为零。

会议： $\dfrac{2 - 2i}{1 + i} = \dfrac{(2 - 2i)(1 - i)}{2} = \dfrac{2 - 4i + 2i^2}{2} = -2i$， 这是纯粹的想象。

响应 (a)： $b = -2$。

b) 对于 $z = x + yi$，$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 为实数，方程变为

$$\sqrt{x^2 + y^2} - x - yi = 1 + 2i.$$

虚部相等：$-y = 2$，然后是$y = -2$。各方平等 真实：

$$\sqrt{x^2 + 4} = 1 + x \Rightarrow x^2 + 4 = 1 + 2x + x^2 \Rightarrow x = \frac{3}{2}.$$

（当我们对其求平方时，我们看到：$1 + x = \frac{5}{2} \geq 0$ 和 $\sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$。对。）

原始方程中的会议： $|z| = \frac{5}{2}$ 和 $\frac{5}{2} - \left(\frac{3}{2} - 2i\right) = 1 + 2i$。

响应 (b)： $z = \dfrac{3}{2} - 2i$。

c) 使用 $z = x + yi$：

  • $z\bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$;
  • $(1 + i)z = (1 + i)(x + yi) = (x - y) + (x + y)i$;
  • 将一个数与其共轭相加得到实部的两倍： $(1 + i)z + \overline{(1 + i)z} = 2(x - y)$.

方程变为

$$a(x^2 + y^2) + 2x - 2y + 1 = 0.$$

除以 $a \neq 0$ 并完成平方：

$$\left(x + \frac{1}{a}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{a}\right)^2 = \frac{2}{a^2} - \frac{1}{a} = \frac{2 - a}{a^2}.$$

这是一个圆（以 $\left(-\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$ 为圆心）当且仅 如果，右侧是正：$\frac{2 - a}{a^2} > 0 \iff a < 2$。如果$a = 2$ 方程代表一个点，并且如果$a > 2$无解。

第二种方式（数值示例）： 对于 $a = 1$，方程为 $x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0$或$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$：周长 半径 1，根据 $\frac{2 - 1}{1^2} = 1$。使用 $a = 3$ 将会是 $(x + \frac{1}{3})^2 + (y - \frac{1}{3})^2 = -\frac{1}{9}$，不可能。

响应 (c)： $a < 2$，带有 $a \neq 0$。

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