Geometria Plana

Capítulo 16 — Polígonos regulares

16 Capítulo 16 · Neste capítulo você vai Polígonos regulares reconhecer polígonos regulares e provar que são inscritíveis e circunscritíveis; identificar centro, apótema e ângulo cêntrico; calcular lado e apótema do quadrado, do hexágono e do triângulo equilátero em função do raio; obter o lado do decágono e do pentágono regulares e reconhecer o segmento áureo. Porcas sextavadas, favos de mel, a placa de PARE, as engrenagens de um relógio: os polígonos regulares estão onde é preciso repetir a mesma peça ao redor de um centro. Neste capítulo, provamos que todo polígono regular cabe exatamente entre duas circunferências de mesmo centro e calculamos seus lados e apótemas a partir do raio — cálculos que, há quase dois mil anos, serviram para montar as primeiras tabelas trigonométricas.

October 12, 2026 Iniciar leitura

Exercícios do capítulo 15 — Triângulos quaisquer

Lei dos senos 624 Sabendo que $\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$ e $\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$, determine: a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$; b) $\cos 150^{\circ}$; c) $\cos 135^{\circ}$; d) $\operatorname{sen}150^{\circ}$; e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$; f) $\cos 120^{\circ}$. Ver respostaa) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · b) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · c) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · d) $\dfrac{1}{2}$ · e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · f) $-\dfrac{1}{2}$ 625 Determine o valor de $x$ nos casos: Ver respostaa) $6\sqrt{2}$ · b) $6\sqrt{6}$

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Cálculo de linhas notáveis

Medianas, alturas e bissetrizes podem ser calculadas só a partir dos três lados. Todas as fórmulas saem das relações métricas — e uma única relação, a de Stewart, resolve todas de uma vez. Quem descobriu A fórmula da mediana é conhecida como teorema de Apolônio: Papo de Alexandria a atribui a Apolônio de Perga (século III a.C.). A fórmula da altura usa a área do triângulo em função dos lados, a fórmula de Heron, demonstrada por Heron de Alexandria no século I, na Métrica (os árabes a atribuíam a Arquimedes). A relação que vale para qualquer segmento ligando um vértice ao lado oposto foi publicada pelo escocês Matthew Stewart em 1746, no livro Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics.

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Relações métricas e teorema dos cossenos

O teorema de Pitágoras tem um termo de correção quando o ângulo não é reto. Esse termo é a lei dos cossenos. Quem descobriu As relações métricas deste tópico estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.), em linguagem de áreas: a proposição II.12 trata do lado oposto a um ângulo obtuso e a II.13, do lado oposto a um ângulo agudo. A forma com o cosseno, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, apareceu muito depois, junto com as tabelas trigonométricas. O astrônomo persa Jamshid al-Kashi a apresentou em 1427, em A chave da aritmética; na França, a lei dos cossenos ainda se chama théorème d’Al-Kashi. François Viète a escreveu com cossenos em 1593.

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Teorema dos senos

Num triângulo qualquer, cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá sempre o mesmo número: o diâmetro da circunferência circunscrita. Quem descobriu A lei dos senos nasceu na astronomia, para triângulos desenhados na esfera celeste. A versão esférica foi obtida no século X por astrônomos do mundo islâmico — entre eles Abu al-Wafa e Abu Nasr Mansur. A forma para triângulos planos aparece de modo sistemático no Tratado do quadrilátero (1260) do persa Nasir al-Din al-Tusi, que fez da trigonometria uma disciplina independente da astronomia. Na Europa, ela se espalhou com o livro Sobre triângulos de todos os tipos, de Regiomontanus, escrito em 1464 e impresso em 1533.

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Exercícios do capítulo 14 — Triângulos retângulos

Relações métricas 506 Determine o valor de $x$ nos casos: Ver respostaa) 5 · b) 12 · c) $\sqrt{7}$ · d) $3\sqrt{3}$ 507 Determine $x$ em função de $a$ nos casos: Ver respostaa) $a\sqrt{3}$ · b) $\dfrac{a}{2}$ 508 Determine $x$ nos casos: Ver respostaa) 12 · b) 24 · c) 20 · d) 8

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Aplicações do teorema de Pitágoras

A diagonal do quadrado, a altura do triângulo equilátero e as razões trigonométricas de 30°, 45° e 60° saem todas do mesmo teorema. Quem descobriu A diagonal do quadrado já foi calculada pelos babilônios: a tábua YBC 7289 (c. 1800–1600 a.C.) dá $\sqrt{2}$ com seis casas decimais corretas. As razões entre os lados de um triângulo retângulo começaram como tabelas astronômicas: Hiparco de Niceia (século II a.C.) montou uma tabela de cordas, o indiano Aryabhata (499) passou a usar a meia-corda — o nosso seno — e astrônomos islâmicos como Abu al-Wafa (século X) organizaram tabelas de sombras, as nossas tangentes. A fórmula que gera todos os triângulos pitagóricos, com lados $x^2 - y^2$, $2xy$ e $x^2 + y^2$, aparece num lema do livro X dos Elementos de Euclides.

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Relações métricas

O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Mas essa é só uma de várias relações que a altura revela dentro do triângulo retângulo. Quem descobriu A relação entre os lados do triângulo retângulo é muito mais antiga que Pitágoras de Samos (século VI a.C.). Tábuas da Babilônia de cerca de 1800 a.C. usam ternos como 3, 4, 5 e calculam a diagonal do quadrado; os Sulba Sutras da Índia (c. 800–500 a.C.) enunciam a regra para construir altares; e o texto chinês Zhoubi Suanjing traz uma prova visual. A tradição grega associou o teorema a Pitágoras, mas não há prova documental de que ele o tenha demonstrado. A demonstração mais antiga que chegou até nós está nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição I.47 prova o teorema por áreas, e a I.48 prova a recíproca. As relações com a altura — cada cateto e a altura como médias proporcionais — estão na proposição VI.8 e no seu corolário.

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Ampliação e redução de figuras

Quando você dá zoom numa foto, ela fica maior, mas o rosto não fica esticado nem achatado. A foto foi ampliada: tudo cresceu na mesma proporção. Ampliar sem deformar Propriedade · A regra da ampliação Para ampliar ou reduzir uma figura sem deformar: multiplique todos os lados pelo mesmo número; mantenha os ângulos (os cantos) iguais. Se o número for maior que 1, a figura é ampliada; se for menor que 1, como ½, é reduzida.

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Perímetro e área na malha quadriculada

Para cercar uma horta, você precisa saber quanto arame vai em volta dela. Para plantar, precisa saber quanto chão há dentro. São duas medidas diferentes: o perímetro e a área. Perímetro: o caminho em volta Definição · Perímetro O perímetro é a medida do contorno de uma figura: é a soma dos comprimentos de todos os lados. Uma formiga que dá a volta numa mesa retangular de 2 m por 1 m anda 2 + 1 + 2 + 1 = 6 m. Esse é o perímetro da mesa.

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Simetria

Dobre uma folha ao meio, recorte um desenho na dobra e abra: as duas metades são iguais, uma “refletindo” a outra. Essa figura tem simetria. O eixo de simetria Definição · Eixo de simetria Uma figura tem eixo de simetria quando existe uma linha que a divide em duas metades que se encaixam perfeitamente ao dobrar a figura nessa linha. Cada metade é o reflexo da outra num espelho.

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Polígonos: lados e vértices

Desenhe uma figura usando só pedaços de linha reta, sem tirar o lápis do papel, até voltar ao começo sem cruzar o caminho. Você desenhou um polígono! O que é um polígono Definição · Polígono Um polígono é uma figura plana fechada, formada só por pedaços de reta (os lados) que não se cruzam. Os pontos onde dois lados se encontram são os vértices. O círculo não é polígono: o contorno dele é curvo. Uma figura aberta também não é polígono.

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