来源： INEP – 证明 和模板 第二天，笔记本 5 – 黄色。

ENEM 数学和技术测试 2024 于第二天进行，并将 从问题 136 到 180。这篇文章解决了问题 136 到 150。此处使用的编号是笔记本 5 – 黄色 的编号；我们 在其他笔记本中，相同的问题以不同的顺序出现。

模板

问题 主题 模板
136 相关函数：生产成本 C
137 统计：中位数 E
138 按比例划分 C
139 组合分析：组合 E
140 独立事件的概率 B
141 原因：人口密度 E
142 分数和带分数 D
143 增加情节（逻辑推理） A
144 弧长：滑轮和皮带 D
145 等边三角形: 外心 C
146 图形读取：正弦幅度 A
147 正多边形的面积 A
148 速度和家具查找 D
149 无需更换的概率 E
150 对数：里氏等级 C

问题136：背包的生产成本（相关功能）

陈述

一家公司生产定制书包。这家公司有成本 总产量，由固定成本组成，不取决于数量 背包，加上可变成本，与背包数量成正比 产生的。总成本呈线性增长，表格显示了这一点 生产三批背包的成本。

背包数量 30 50 100
总成本（R$） 1 050,00 1 650,00 3 150,00

生产 80 个背包的总成本（雷亚尔）为

  • A) 2 400,00.
  • B) 2 520,00.
  • C) 2 550,00.
  • D) 2 700,00.
  • E) 2 800,00.

解决

总成本为固定成本+可变成本，可变成本为 与背包数量$x$成正比。那么成本是一个仿射函数：

$$C(x) = b + a x$$

其中 $b$ 是固定成本，$a$ 是每个背包的成本。

1。每个背包的成本 ($a$)。 从 30 到 50 个背包，成本上升 $1650 - 1050 = 600$ 雷亚尔可换取 20 额外背包：

$$a = \frac{1650 - 1050}{50 - 30} = \frac{600}{20} = 30$$

检查第三点：从50到100背包， $\frac{3150 - 1650}{100 - 50} = \frac{1500}{50} = 30$。费率相同 预期在相关功能中。

2。固定成本 ($b$)。 使用 $x = 30$：

$$1050 = b + 30 \cdot 30 \quad\Rightarrow\quad b = 1050 - 900 = 150$$

因此，$C(x) = 150 + 30x$。

3。 80 背包的成本。

$$C(80) = 150 + 30 \cdot 80 = 150 + 2400 = 2550$$

答案：替代C (R$ 2 550,00)。

注意陷阱： 替代方案 A (2 400,00) 只是成本 变量，$30 \cdot 80$。她忘记了 R$ 150,00 的固定成本。

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问题 137：相对湿度中值

陈述

相对空气湿度是气象学中用来衡量空气相对湿度的指标之一。 进行天气预报。该表显示了每月平均值，单位为 连续六个月内相对空气湿度的百分比 在一个城市。

几个月 可能 六月 七月。 八月。 九月。 十月
月平均相对湿度(%) 66 64 54 46 60 64

在这个城市中，这些数据的相对空气湿度的中位数（以百分比表示） 在所考虑的时期内

  • A) 56.
  • B) 58.
  • C) 59.
  • D) 60.
  • E) 62.

解决

中位数是数据排序后的中心值。 该表按月份顺序排列，而不是按值顺序排列，因此第一个 步骤是订购。

1。对数据进行排序：

$$46, \quad 54, \quad 60, \quad 64, \quad 64, \quad 66$$

2。找到中心。 这些是 6 值，一个偶数。没有一个 中心项：中间的两项是第3项和第4项，即60和64。中位数是 他们的平均值：

$$\text{Mediana} = \frac{60 + 64}{2} = \frac{124}{2} = 62$$

答案：替代E (62%)。

要小心陷阱： 谁取两个中间值没有 sort（七月和八月，54和46）找到50，它不在 替代方案。替代方案 D (60) 只是第三项，忘记执行 平均排名第4。

要回顾这个概念，请参阅位置测量.

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问题 138：付款与工作时间成比例

陈述

聘请了一家工程公司来执行一项有价值的服务 R$ 71 250,00。公司的合作伙伴决定分配该金额的 40% 支付管理该服务的三名工程师的费用。付款 每一项的完成都将与总时间成正比 工作了。每天工作的天数和小时数 工程师分别是：

  • 工程师 I：4 天，每天行程 5 个半小时；
  • 工程师 II：5 天，每天行程 4 小时；
  • 工程师 III：6 天，每天行程 2 个半小时。

实际上，这项服务所获得的价值之间最大的差异是什么？ 在这两个工程师之间？

  • A) 1 000
  • B) 1 500
  • C) 3 500
  • D) 3 800
  • E) 5 250

解决

1。要划分的价值。 只有 40% 的服务提供给工程师：

$$0{,}40 \cdot 71\thinspace 250 = 28\thinspace 500 \text{ reais}$$

2。每位工程师的总工作时间（天 × 每天小时数）：

工程师 计算 时间
I $4 \cdot 5{,}5$ 22
二 $5 \cdot 4$ 20
三、 $6 \cdot 2{,}5$ 15
总计 57

**3。按小时计费。**由于付款与工作时间成正比， 每个小时的价值都是一样的：

$$\frac{28\thinspace 500}{57} = 500 \text{ reais por hora}$$

4。每人收到多少：

  • 工程师 I：$22 \cdot 500 = 11\thinspace 000$ 雷亚尔；
  • 工程师 II：$20 \cdot 500 = 10\thinspace 000$ 雷亚尔；
  • 工程师 III：$15 \cdot 500 = 7\thinspace 500$ 雷亚尔。

**5。最大的区别。**这是在那些收到更多（I）和那些收到更少（III）的人之间：

$$11\thinspace 000 - 7\thinspace 500 = 3\thinspace 500$$

答案：替代C (R$ 3 500)。

**快捷方式：**最大时间差为 $22 - 15 = 7$ 小时，并且 $7 \cdot 500 = 3\thinspace 500$。无需计算每一项的价值。

要查看，请参阅[比例](https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/racional/proporcoes/proporcoes/） 和基本百分比.

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问题 139：医生团队（组合）

陈述

一家医院有 7 位心脏病专家和 6 位神经科医生。 职员。为了执行某项活动，该活动的方向 医院将组建一个由 5 位医生组成的团队，至少 3 位心脏病专家。

表示不同方式的最大数量的数值表达式 组建这个团队是

A)

$$\frac{7!}{4!} \times \frac{6!}{4!}$$

B)

$$\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}$$

C)

$$\frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!} + \frac{5!}{1! \times 4!}$$

D)

$$\left(\frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!}\right) \times \left(\frac{7!}{4! \times 3!} + \frac{6!}{1! \times 5!}\right) \times \left(\frac{7!}{5! \times 2!} + \frac{6!}{0! \times 6!}\right)$$

E)

$$\left(\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}\right) + \left(\frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}\right) + \left(\frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!}\right)$$

解决

团队中医生的顺序并不重要，因此我们使用组合：

$$C_{n,p} = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p! \thinspace (n-p)!}$$

1。将病例分开。 5 名团队中的“至少 3 名心脏病专家”离开 三种可能性：

案件 心脏病专家（来自 7） 神经科医生（来自 6）
1 3 2
2 4 1
3 5 0

2。计算每个病例。在一个病例中，我们选择心脏病专家e 神经科医生。一起做出的选择相乘：

  • 案例 1: $\binom{7}{3} \times \binom{6}{2} = \dfrac{7!}{3! \times 4!} \times \dfrac{6!}{2! \times 4!}$
  • 案例 2: $\binom{7}{4} \times \binom{6}{1} = \dfrac{7!}{4! \times 3!} \times \dfrac{6!}{1! \times 5!}$
  • 案例 3: $\binom{7}{5} \times \binom{6}{0} = \dfrac{7!}{5! \times 2!} \times \dfrac{6!}{0! \times 6!}$

3。将案例放在一起。 一个团队来自案例 1 或 来自案例 2 或 案例3。排除的案例加起来。表达式正是 替代方案E。

进行数学计算，检查：

$$35 \times 15 + 35 \times 6 + 21 \times 1 = 525 + 210 + 21 = 756 \text{ equipes}$$

答案：替代E。

为什么其他人错了：

  • B 仅计算病例 1（确切地说是 3 心脏病专家）。
  • D 反转运算：每个案例中的总和并将案例相乘。
  • C 添加在一起没有意义的数字，例如 $\frac{5!}{1! \times 4!}$。

要记住的规则：“e”乘法，“或”求和。

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问题 140：遇到两个红灯的概率

陈述

为了改善有两个红绿灯的大道上的公交车流量， 市政厅将减少每个信号灯变红的时间，目前是 从 15 秒到每 60 秒。承认巴士到达的瞬间 每个红绿灯都是随机的。

该市交通工程师计算了公交车出现的概率 找到每个红色，得到$\frac{15}{60}$。从那里开始， 建立了相同的时间量减少（以秒为单位），其中每个 信号灯会变红，所以公交车遇到的概率 同一行程中的两个红灯等于$\frac{4}{100}$， 考虑独立事件。

为此，减少信号变为红色的时间（以秒为单位）， 由工程师建立的是

  • A) 1,35.
  • B) 3,00.
  • C) 9,00.
  • D) 12,60.
  • E) 13,80.

解决

**1。交通灯处的概率。**如果在 $t$ 期间灯变红 每 60 秒，公交车到达红灯的几率为

$$P(\text{vermelho}) = \frac{t}{60}$$

（如声明所述，今天的 $t = 15$ 概率为 $\frac{15}{60}$）。

2。两个交通灯。事件是独立的，因此概率 捕获两个红色的是概率的乘积。减量是怎样的 两个信号相同，它们都有相同的 $t$：

$$\frac{t}{60} \cdot \frac{t}{60} = \left(\frac{t}{60}\right)^2 = \frac{4}{100}$$

**3。找到新的时间。**取平方根（只有正根有效， 因为时间不是负数）：

$$\frac{t}{60} = \frac{2}{10} \quad\Rightarrow\quad t = 12 \text{ segundos}$$

4。减少。 红色从 15 秒变为 12 秒：

$$15 - 12 = 3 \text{ segundos}$$

答案：替代B（3,00秒）。

要小心陷阱：问题是减少，而不是新时间。 回答新时间 (12) 的人正在寻找不在 替代方案。最接近的是 D (12,60)，这不是答案。

要回顾这个概念，请参阅[概率简介]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/prob/introprob/).

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问题 141：人口密度（数量之间的比率）

陈述

一个地区的人口密度被定义为人口之间的比率 该地区及其面积的居民人数，以单位居民表示 每平方公里。

一个地区 $R$ 又细分为其他几个，其中之一就是区域 $Q$。一个 的面积 $Q$ 等于面积的四分之三 $R$，以及居民数量 $Q$ 等于居民人数的一半 $R$。人口密度 对应于这些区域的表示为 $d(Q)$ 和 $d(R)$.

$d(Q)$ 和 $d(R)$ 的关系表达式为

  • A) $d(Q) = \dfrac{1}{4} d(R)$
  • B) $d(Q) = \dfrac{1}{2} d(R)$
  • C) $d(Q) = \dfrac{3}{4} d(R)$
  • D) $d(Q) = \dfrac{3}{2} d(R)$
  • E) $d(Q) = \dfrac{2}{3} d(R)$

解决

1。给出名称。 令 $N$ 为 $R$ 的居民数量，$A$ 为 $R$ 的面积。 然后

$$d(R) = \frac{N}{A}$$

2。写入 $Q$ 的数据。 $Q$ 有一半的居民和四分之三的居民 从以下地区出发：

$$d(Q) = \frac{\frac{1}{2} N}{\frac{3}{4} A}$$

**3。化简。**除以一个分数就是乘以它的倒数：

$$d(Q) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{N}{A} = \frac{2}{3} \cdot \frac{N}{A} = \frac{2}{3} d(R)$$

答案：替代E ($d(Q) = \frac{2}{3} d(R)$)。

要小心陷阱： 当出现替代 D ($\frac{3}{2}$) 时 比例相反，使面积除以居民。密度为 该地区的居民。

如需查看，请参阅费用.

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问题 142：屏幕尺寸之间的差异（带分数）

陈述

目前，存在具有不同尺寸和格式的屏幕的手机。 矩形的。其中一些配备尺寸为 $3\frac{1}{2}$ 英寸的屏幕， 具有一定的技术规范。此外，在许多模型中， 手机的新功能越来越多，屏幕也越来越大， 如今，尺寸为 $4\frac{5}{6}$ 英寸的屏幕很常见，例如 的数字。

可访问：www.tecmundo.com.br。访问时间：11 月 5 2014（已改编）。

测量值之间的尺寸差异（以绝对值表示）（以英寸为单位） 手机2和手机1的屏幕，仅表示一位小数，

  • A) 0,1.
  • B) 0,5.
  • C) 1,0.
  • D) 1,3.
  • E) 1,8.

解决

1。将带分数转换为分数。 $3\frac{1}{2}$ 表示 $3 + \frac{1}{2}$、$4\frac{5}{6}$表示$4 + \frac{5}{6}$：

$$3\frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = \frac{21}{6} \qquad 4\frac{5}{6} = \frac{24}{6} + \frac{5}{6} = \frac{29}{6}$$

2。减去（已经具有相同的分母 6）：

$$\frac{29}{6} - \frac{21}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

3。更改为十进制：

$$\frac{4}{3} = 1{,}333\ldots \approx 1{,}3$$

答案：替代D（1,3英寸）。

注意陷阱： $4\frac{5}{6}$ 不是是$4 \times \frac{5}{6}$。 带分数是一个和：整数部分加分数。

要回顾，请参阅有理数运算.

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问题 143：增加分期付款和生日月份

陈述

一家房地产经纪公司发起了一项广告活动来促进房屋的销售 可以每月 100 次分期付款的公寓。第一个的价值 其中一部分是在购买时固定的，并支付第一期付款。一个 从第二期开始，该价值通过应用增加来确定 前一期分期付款金额的固定百分比。作为一个景点，房地产中介将 支付与生日月份相对应的所有分期付款 买家。

一位顾客的生日是五月，他决定购买其中一件 通过房地产中介提供的融资购买公寓，并打算 选择最合适的月份进行此次购买，以便物超所值 付款总额尽可能小。

该客户应该选择什么月份购买 公寓？

  • A) 二月。
  • B) 四月。
  • C) 五月。
  • D) 六月。
  • E) 八月。

解决

1。分期付款只会增加。 每期付款都是前一期的附加部分 固定百分比，则2部分大于1，3大于2，依此类推 以后。分期付款 100 是其中最昂贵的。

2。每个月有多少期分期付款。 第 1 期付款在当月支付 购买。作为 $100 = 8 \cdot 12 + 4$，分期付款涵盖 8 整年，并且 再加上 4 个月。然后：

  • 购买后的4头个月将分别收到9分期付款 （例如，第 4 个月收到分期付款 4、16、28、…、88、100）；
  • 其他 8 个月各收到 8 期付款。

**3。客户想要什么。**他支付了除五月分期付款之外的所有费用。对于 支付最低金额，五月分期付款（由房地产中介支付）必须总计 最大可能。

4。哪个位置最适合 5 月。 如果 5 月是从 购买，他收到分期付款

$$4, \ 16, \ 28, \ \ldots, \ 88, \ 100$$

有 9 期分期付款，包括第 100 期，这是所有期中最昂贵的。与比较 任何其他职位：

  • 如果 5 月是第 1、第 2 或第 3 个月，您还会收到 9 期付款，但每期付款 上一个（因此更便宜）到第 4 个月的相应分期付款；
  • 如果 5 月是第 5 个月到第 12 个月，您只会收到 8 笔分期付款，其中最大的分期付款在 最大为 96。配对，每一件比一次分期便宜 与上面的列表不同（第96名输给第100名，第84名输给第88名，等等）， 并且还有分期付款4。

5。查找购买月份。 May 必须是从该月算起的第 4 个月 购买日期（第1次）：2月购买→2月（1日）、3月（2日）、 4 月（3 日）、5 月（4 日）。

答案：替代A（二月）。

要小心陷阱： 在 5 月购买（替代方案 C）会给你 May 9 分期付款，但是您组中最便宜的（1、13、…、97）。不包括 第100个，这是最贵的。

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问题 144：两个皮带轮之间的皮带长度

陈述

圆形滑轮和皮带系统是负责的机构之一 通过在旋转机器中传递运动。发动机手册提供 表示由两个滑轮和一条皮带组成的系统的图 传输，在滑轮上张紧并完美调整，以免 与滑轮的接触处有间隙。考虑一下这个部分 不与滑轮接触的皮带由段表示 与滑轮相切的直线。

要更换此皮带，需要指定其 长度。

将 3 视为 $\pi$ 的近似值。

这条皮带的长度（以厘米为单位）是

  • A) 54.
  • B) 60.
  • C) 66.
  • D) 68.
  • E) 72.

解决

皮带由四个部分组成：两个 15 厘米的直线段、围绕直线段的弧线 小滑轮和大滑轮周围的环。

**1。圆弧角。**在小皮带轮上，与皮带接触的圆弧 对应图中标注的$150°$的圆心角。

在每个切点处，半径都垂直于带。所以半径为 小滑轮和大滑轮到达同一直线段的半径为 相似之处。因此，接触的两条弧相互补充：滑轮弧 大有

$$360° - 150° = 210°$$

2。小滑轮上的圆弧($r = 4$ cm, $\pi = 3$)：长度是分数 $\frac{150}{360}$全周：

$$\frac{150}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = \frac{5}{12} \cdot 24 = 10 \text{ cm}$$

3。大滑轮上的圆弧（$R = 8$ cm）：

$$\frac{210}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 8 = \frac{7}{12} \cdot 48 = 28 \text{ cm}$$

4。全部加起来：

$$15 + 15 + 10 + 28 = 68 \text{ cm}$$

答案：替代D (68 cm)。

**小心这个技巧：**凡是在大滑轮上使用$150°$的人也会发现 $30 + 10 + 20 = 60$（替代方案 B）。无论谁在每个回合中使用半圈（$180°$） 滑轮找到 $30 + 12 + 24 = 66$（选项 C）。大滑轮拥抱 超过 腰带的一半。

要查看，请参阅[角度和周长]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/irracional/geoirra/angcirc/).

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问题 145：距三个站等距的点 (等边三角形)

陈述

市议会计划建立三个卫生站。这些帖子 必须建在彼此等距的位置，并且以这样的方式 这三个车站到该城市医院的距离相等。是 已确定在三个地点建造卫生站，以提供 根据该方案，在 有什么意义 $H$ 代表医院的建设地点；点 $P_1$, $P_2$ 和 $P_3$、卫生站；这四点合二为一 相同的计划。

医院与每个卫生站之间的距离（以公里为单位）为 之间的值

  • A) 2 e 3.
  • B) 4 e 5.
  • C) 5 e 6.
  • D) 7 e 8.
  • E) 8 e 9.

解决

1。图中。 站点形成等边三角形边10公里，并且 $H$ 与三个顶点的距离相同。该点是中心 三角形 (外心)。在等边三角形中它与 重心，从每个高度开始计算 $\frac{2}{3}$ 顶点。

2. 等边三角形的高 侧身 $\ell = 10$:

$$h = \frac{\ell\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

3。从$H$到各站的距离：

$$d = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx \frac{10 \cdot 1{,}732}{3} \approx 5{,}77 \text{ km}$$

答案：替代C（5和6公里之间）。

请注意问题：从 $H$ 到三角形边的距离 它只有 $\frac{1}{3}$ 高，大约 2,89 公里（选项 A）。还有身高 整个长度，大约 8,66 公里，通向替代方案 E。

要回顾，请参阅三角形的值得注意的点.

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问题146：减震器的振动图

陈述

减震器工厂的设计师进行了一系列 产生类似于图表行为的振荡的实验 正弦曲线，适用于任何类型的道路。每个实验持续 20 分钟，9 是模拟高速公路表面上的第一分钟 沥青，以及模拟高速公路表面上剩余的 11 分钟 地板。

对于要在实验中获得认可的减震器，要求 每种类型表面上的振荡波的振幅都是恒定的 而且，减震器在沥青上的振动幅度小于 比其在土路上的振动幅度更大。

描述阻尼器振荡行为的图表类型 本实验中批准的是

解决

振幅是波峰的高度（从轴到点的距离） 更高）。有三个要求：

  1. 从 0 到 9 分钟（沥青），振幅恒定；
  2. 从9到20分钟（下限），幅度恒定；
  3. 沥青上的振幅小于地面上的振幅。

分析每个图表：

  • A： 在 9 分钟内仍然达到峰值；然后，峰值都一样，甚至更多 高的。满足所有三个要求。
  • **B：**在土路上，山峰变得更小。幅度不是 持续的。
  • C： 峰值随着时间的推移而减少。它不是恒定的并且不会随着时间的推移而增加 地面。
  • D 和 E： 两个表面上的幅度相同；只需更改 频率（波变得“更紧”或“更宽”）。不符合 要求 3。

答案：替代A。

**要小心陷阱：**不要将振幅（波高）与 频率（一个间隔中有多少个振荡）。在 D 和 E 中改变 频率，而不是幅度。

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问题147：相同周长的最大面积（正多边形）

陈述

园丁拥有 $k$ 米长的低矮栅栏来建造花园 观赏性的。由栅栏界定的花园必须具有一个形状 等边三角形，正正方形或六边形。选择将由 以产生最大面积的方式。

园丁会选择道路

  • A) 正六边形，作为花园的面积，以平方米为单位，将为$\dfrac{k^2\sqrt{3}}{24}$。
  • B) 正六边形，作为花园的面积，以平方米为单位，将为$\dfrac{3k^2\sqrt{3}}{2}$。
  • C) 平方，作为花园的面积，以平方米为单位，将为$\dfrac{k^2}{16}$。
  • D) 等边三角形，因为花园的面积（以平方米为单位）将为$\dfrac{k^2\sqrt{3}}{36}$。
  • E) 等边三角形，因为花园的面积（以平方米为单位）将为$\dfrac{k^2\sqrt{3}}{4}$。

解决

周长始终为 $k$（整个栅栏）。我们计算每个形状的面积。

**1。 等边三角形：**侧$\frac{k}{3}$。

$$A_\triangle = \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\left(\frac{k}{3}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{k^2\sqrt{3}}{36}$$

**2。正方形：**边$\frac{k}{4}$。

$$A_\square = \left(\frac{k}{4}\right)^2 = \frac{k^2}{16}$$

**3。正六边形：**边$\frac{k}{6}$。正六边形由 6 组成 等边三角形 与此面：

$$A_{hex} = 6 \cdot \frac{\left(\frac{k}{6}\right)^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{k^2\sqrt{3}}{144} = \frac{k^2\sqrt{3}}{24}$$

4. 比较 （使用 $\sqrt{3} \approx 1{,}732$):

形状 区域 近似
三角形 $\frac{k^2\sqrt{3}}{36}$ $0{,}048 k^2$
正方形 $\frac{k^2}{16}$ $0{,}0625 k^2$
六边形 $\frac{k^2\sqrt{3}}{24}$ $0{,}072 k^2$

六边形的面积最大。

答案：替代A（正六边形，面积为$\frac{k^2\sqrt{3}}{24}$）。

小心陷阱： 备选方案 B 使用六边形公式 $\frac{3\ell^2\sqrt{3}}{2}$ 与 $\ell = k$，忘记哪一边 $\frac{k}{6}$。周长相同的正多边形，边数越多 有，面积越大。

要查看，请参阅[正多边形]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/geoplan/poligonos/poligonoregular/).

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问题 148：两辆公交车相遇（速度）

陈述

机场提供两个机场之间的免费班车服务 乘坐巴士 A 和 B 的航站楼，每小时同时出发 时间，来自不同的终端。端子之间的距离为9000 米，并监控巴士从一个终点站到另一个终点站的总路线 由五个摄像机组成的系统覆盖了延伸段的不同部分， 根据该计划。

五个摄像机各自的范围为：

  • 摄像机 I：路线的$\frac{1}{5}$；
  • 摄像机二：路线的$\frac{3}{10}$；
  • 摄像机III：路线的$\frac{1}{10}$；
  • 红外摄像机：路线的$\frac{1}{10}$；
  • 摄像机 V：路线的 $\frac{3}{10}$。

某时刻，公交车A从航站楼1出发，行驶 恒速250米/分钟总计；而巴士 B 则从 端子2，以150米/分钟的恒定速度执行总距离。

哪个摄像机记录了公交车 A 和 B 相遇的瞬间？

  • A) I
  • B) II
  • C) III
  • D) IV
  • E) V

解决

1。距会议时间还有一段时间。 公共汽车相互靠近，因此 它们之间的距离每分钟减少 $250 + 150 = 400$ 米：

$$t = \frac{9\thinspace 000}{400} = 22{,}5 \text{ minutos}$$

**2。在哪里开会。**这段时间，A路公交车从1航站楼出发，

$$250 \cdot 22{,}5 = 5\thinspace 625 \text{ metros}$$

（检查：B 走了 $150 \cdot 22{,}5 = 3\thinspace 375$ 米，并且 $5\thinspace 625 + 3\thinspace 375 = 9\thinspace 000$。）

3。每个摄像机的摘录。 分数相加 $\frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = 1$， 摄像机依次覆盖路线，从终点站1开始：

相机 分数 摘录（m，来自终端 1）
I $\frac{1}{5}$ 0 a 1 800
二 $\frac{3}{10}$ 1 800 a 4 500
三、 $\frac{1}{10}$ 4 500 a 5 400
四号 $\frac{1}{10}$ 5 400 a 6 300
V $\frac{3}{10}$ 6 300 a 9 000

点 5 625 m 位于 5 400 和 6 300 之间：红外摄像机摘录。

答案：替代D（红外摄像头）。

**小心恶作剧：**谁想象公交车在中间相遇 路径的长度 (4 500 m) 位于摄像机 II 和 III 之间的边界上。由于 A 更 很快，会议就接近终点站2。

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问题 149：发现凯撒密码 {#questao-149} 的概率

陈述

密码学是指构建和分析阻止 第三方阅读私人消息。朱利叶斯·凯撒，罗马皇帝，使用 保护发送给将军的信息的代码。所以，如果 消息落入敌人手中，信息无法被理解。 在此代码中，字母表中的每个字母都被前面三个位置的字母替换。 前面，即“A”被“D”替代，“B”被“E”替代，“C”被“F”替代， 等等。

可访问：www.code.ibict.br。访问时间：15 10 月 2019。

任何具有所描述的字母替换模式的代码都是 被认为是凯撒密码或凯撒密码。注意要破译 凯撒密码，只需找出“A”被替换为哪个字母，因为 这定义了要进行的所有其他替换。

已使用 26 个字母的字母表对消息进行编码 凯撒。考虑随机发现模式的概率 在此编码中使用，并且必须消除失败的尝试 在随后的尝试中。

发现该凯撒密码模式的概率仅在 第三次尝试是由

  • A) $\dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{25}$
  • B) $\dfrac{24}{25} + \dfrac{23}{24} + \dfrac{1}{23}$
  • C) $\dfrac{1}{25} \times \dfrac{1}{24} \times \dfrac{1}{23}$
  • D) $\dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{25} \times \dfrac{1}{25}$
  • E) $\dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{24} \times \dfrac{1}{23}$

解决

1。有多少种可能的模式。 模式由字母定义 取代“A”。它可以是任何其他 25 字母（如果“A” 保留“A”，消息不会被编码）。这些是25种可能性。

**2。 “仅在第三次尝试时”**意思是：错过第一次，错过第二次， 获得第三个权利。随着每次错误的尝试被消除，选项的数量 每次减少：

  • 第一次错误尝试：25选项中的24错误→$\frac{24}{25}$；
  • 第二次错误尝试：24选项左，23错误→$\frac{23}{24}$；
  • 第三次正确尝试：23 选项保留，1 正确 → $\frac{1}{23}$。

**3。相乘。**这三个事实需要同时发生（“和”），所以 我们乘以：

$$P = \frac{24}{25} \times \frac{23}{24} \times \frac{1}{23}$$

（简单来说，$P = \frac{1}{25}$：无需重复尝试，一次就做对， 第二次或第三次尝试有相同的机会。）

答案：替代E。

小心陷阱： 替代方案 D 忘记消除尝试 沮丧（将 25 保留在分母中）。 A B 加法而不是乘法。

要回顾，请参阅[概率导论]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/prob/introprob/).

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问题 150：地震震级（对数）

陈述

在地震多发地区，观察到两处地震 发生的地震震级为 $M_1$ 和 $M_2$，根据 里氏震级，释放的能量分别等于 $E_1$ 和 $E_2$。 在这个主题的学者中，有一个代数表达式是众所周知的 将这些值联系起来

$$M_2 - M_1 = \frac{2}{3} \log\left(\frac{E_2}{E_1}\right)$$

更全面的研究表明，第一次地震呈现出 星等$M_1 = 6{,}9$，释放的能量是观测到的能量的十分之一 第二次地震。

第二次地震震级$M_2$的近似值，用 小数位等于

  • A) 5,4.
  • B) 6,2.
  • C) 7,6.
  • D) 8,2.
  • E) 8,4.

解决

1。翻译能量数据。“第一个能量是第二个能量的十分之一。 第二”：

$$E_1 = \frac{E_2}{10} \quad\Rightarrow\quad \frac{E_2}{E_1} = 10$$

**2。代入公式。**如$\log 10 = 1$：

$$M_2 - 6{,}9 = \frac{2}{3} \log 10 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$$

3。隔离 $M_2$：

$$M_2 = 6{,}9 + 0{,}666\ldots = 7{,}566\ldots \approx 7{,}6$$

答案：替代C (7,6)。

当心陷阱：如果比例相反 ($\frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{10}$)，对数值为$-1$，我们得到 $6{,}9 - 0{,}67 \approx 6{,}2$（替代方案 B）。第二次地震发布 更多能量，因此它的更大幅度。

要查看，请参阅对数的属性.

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