ENEM 2023 – 已解决的数学：问题 151 到 165

来源： INEP – 证明 和模板 第二天，笔记本 5 – 黄色。

ENEM 数学和技术测试 2023 于第二天进行，并将 从问题 136 到 180。这篇文章解决了问题 151 到 165。此处使用的编号是笔记本 5 – 黄色 的编号；我们 在其他笔记本中，相同的问题以不同的顺序出现。

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问题 151：日托中心的新房间（百分比）

陈述

去年一月，一家工厂的管理层为他们开设了日托中心。 其员工的子女，拥有 10 个房间，每个房间都有服务能力 10 每年都有孩子。职位空缺是在员工的子女中抽取的。 已登记，而未列入抽签的人则形成等候名单。 去年，等候名单中有 400 个名字，而今年，这个数字 增长了 10%。

工厂管理层进行了调查，发现等候名单 明年的候补名单上的名字将与今年相同。 年。然后他决定在那一年为日托中心建造新房间， 每个孩子还可以容纳 10 个孩子，因此数量 明年等候名单上的名字将比今年减少 25%。

必须建造的最小房间数量为

• A) 10.
• B) 11.
• C) 13.
• D) 30.
• E) 33.

解决

1。今年的等候名单。 400 增加了 10%：

**2。明年的目标。**如果没有新房间，列表将再次是 440。一个 目标减少 25%：

3。需要照顾的额外儿童。 $440 - 330 = 110$ 儿童。

4。房间。 每个新房间均服务于 10 名儿童：

答案：替代B（11个房间）。

注意陷阱：替代方案 A (10) 使用 400 而不是 440， 忘记了 10% ($400 \cdot 0{,}25 = 100$) 的增加。以及替代方案 E (33) 除以 10 列表的最终大小 (330)，当新房间 需要吸收的是列表的减少，110名称。

要查看，请参阅百分比基础知识.

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问题152：第八个五边形数

陈述

五边形数字可能是由 公元前5世纪左右的毕达哥拉斯学派。下图说明了如何获得这六个 首先，其他的都是按照相同的几何图案获得的。

第8个五边形数是

• A) 59.
• B) 83.
• C) 86.
• D) 89.
• E) 92.

解决

**1。术语之间的差异。**前六个数字是 1、5、12、22、35、51。相邻术语之间的差异是

它们从 3 增长到 3（形成比例为 3 的 PA）。这在图中是有意义的： 每个新“层”都有 3 个新边，并且每一边比上一层多一个点 上一层。

**2。继续模式。**下一个区别是 19 和 22：

• 第7个数字：$51 + 19 = 70$；
• 第 8 个数字：$70 + 22 = 92$。

**3。用公式检查。**第$n$个五边形数是 $P_n = \frac{n(3n - 1)}{2}$。对于 $n = 8$：$P_8 = \frac{8 \cdot 23}{2} = 92$。

答案：替代E (92)。

**要小心陷阱：**序列 1、5、12、22、35、51 不是 a 铲;这些术语之间的差异决定了 PA 的构成。还要记住 51 是 第六个数字：距第八个数字还剩两步。

要回顾，请参阅[算术级数]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/natuais/progressao/progressao-aritimetica/） 和具有数字序列的几何.

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问题153：摩天轮的高度（周期函数）

陈述

该图展示了摩天轮在其坐在椅子上的那一刻 找到人$P$在这个摩天轮的最高点。

随着时间的推移，随着摩天轮的旋转，以角速度 恒定且顺时针方向，人所在椅子的高度 $P$，相对于地面，发生变化。

最能代表该高度随时间变化的图表， 从该人的椅子 $P$ 进入座位的那一刻开始计算 摩天轮的最高位置，就是

解决

1. 高度与角度的函数关系。 这是 $h_c$ 车轮中心的高度和 $R$ 半径。如果椅子转了一个角度 $\theta$ 从最高点开始， 它的高度是

由于角速度恒定，$\theta$ 与 时间：$\theta = \omega t$。然后$h(t) = h_c + R\cos(\omega t)$，一条曲线 余弦曲线。

2。图表特征。

• 从最大值开始（在 $t = 0$ 处，椅子位于顶部）；
• 它平滑，没有“峰”：靠近顶部和靠近底部的高度不同 缓慢地（椅子几乎水平移动），并接近椅子的高度 中心变化很快；
• 它是对称的：上升的方式与下降的方式相同，并且每转一圈都会重复该形状。

3。消除备选方案。 B 和 C 由直线段组成（ 高度总是以相同的速度变化，并且 C 仍然有停止的部分）。 D 有 喷嘴数量最少，E 的喷嘴数量最多；车轮上的任何一点高度都不会改变 突然。只有图A是平滑的余弦曲线。

答案：替代A。

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问题 154：质量低于平均水平，高度高于平均水平

陈述

老师，为了促进学生的统计学习， 提议一项活动。目的是验证学生的百分比 体重低于平均水平且身高高于一组的平均水平 学生。为此，他使用秤和卷尺评估了 十名学生的样本，记录观察到的测量结果。该图显示 活动期间获得的体重（以千克为单位）和身高（以米为单位）。

收集数据后，学生计算所得值的平均值， 参考体重和身高，分别获得80千克和1,65米。

该样本中体重低于标准的学生比例是多少？ 平均和高于平均身高？

• A) 10
• B) 20
• C) 30
• D) 50
• E) 70

解决

1。组装我们正在寻找的区域。我们想要质量小于 80 kg 的点 （水平轴 80 左侧）e 高度 大于 1,65 米（上方 从 1,65 行开始）。

2。查看质量低于 80 kg 的点。 有 5 个点，质量为 大约 50、55、60、65 和 68 kg：

• 50 kg：高度1,60米（低于1,65）；
• 55 kg 和 60 kg：高度正好 1,65 米（不高于平均水平）；
• 约 65 kg：高度略高于 1,65 米 ✔；
• 约 68 千克：高度 1,70 米 ✔。

3。百分比。 10 有 2 名学生：

答案：替代B (20%)。

要小心陷阱： **** 上的两个点 1,65 米的高度等于平均值​​，而不是高于平均值。计算它们会导致 40%，这甚至不是 选择;仅计算 80 kg 左侧的那些会导致 50% (D)。

要查看，请参阅位置测量.

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问题155：渔夫应该雇用多少帮手

陈述

渔民每天的固定成本为 900 雷亚尔，包括燃料、鱼饵、 船只的维护和其他小额费用。他每公斤都卖掉 钓鱼 R$5.00。您的目标是每天赚取最低利润 800.00 雷亚尔。 一天的工作结束后，他独自一人捕获了 180 公斤鱼， 这刚好够支付日常固定成本。因此，您需要 雇用帮手，每人每天工作 250.00 雷亚尔。超越 其中，鱼品销售收入的 4% 被平分 帮手之中。考虑到他的船的大小，他最多可以租用 5个帮手。他知道，在助手的帮助下，每天的捕获量为 300 公斤，而且， 从第二个雇工开始，金额 工作人员在工作日捕获的鱼。

该渔民需要雇用的最少助手数量 实现期望的每日利润是

• A) 1.
• B) 2.
• C) 3.
• D) 4.
• E) 5.

解决

1。与 $k$ 助手一起钓鱼。 与 1 助手一起钓鱼，它们是 300 公斤，每个助手 再加上100公斤：

2。利润。 收入为 $5Q$。成本是固定成本 (900)、每日 ($250k$) 和 4% 的收入在帮手 ($0{,}04 \cdot 5Q$) 之间分配。 然后

3。测试$k$的值。

使用 3 帮助者，利润 (R$ 750,00) 仍然达不到 R$ 800,00；与 4 助手一起 通过 (R$ 980,00)。

答案：替代D（4助手）。

小心这个伎俩： 谁会忘记支付给帮手的收入的 4% 使用 3 助手计算 $2500 - 900 - 750 = 850 \geq 800$ 并标记 C.

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问题156：乘以10（指数）的幼虫

陈述

一位农民得知一种保护农作物的方法 由插入特定的、快速繁殖的幼虫组成。再现 这些幼虫的数量导致它们的数量每 3 天增加 10，并且， 为了避免可能的不平衡，可以停止这种复制 应用产品 X。农民决定从 100 开始此方法 幼虫并具有 5 升产品 每个 200 000 幼虫种群正好 1 升。总金额 可供他使用的产品 X 必须使用一次。

开始该方法后多少天，农民应该施用产品 X？

• A) 2
• B) 4
• C) 6
• D) 12
• E) 18

解决

1。 5 升治疗的人口。 每个 200 000 正好 1 升 幼虫：

2。生长。 从 $100 = 10^2$ 幼虫开始，乘以 10 每 3 天：

式中：$10^2 \cdot 10^{t/3} = 10^6 \Rightarrow \frac{t}{3} = 4 \Rightarrow t = 12$。

答案：替代D（12天）。

要小心陷阱： 替代 B (4) 是 乘以 10，而不是天数。每次乘法需要 3 天。

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问题 157：哪个密码最难猜出

陈述

在注册投资申请时， 创建密码的用户，仅允许使用以下内容 字符：

• 从 0 到 9 的数字；
• 26 字母表中的小写字母；
• 26 字母表中的大写字母；
• 6 特殊字符 !、@、#、$、*、&。

向用户呈现三种类型的密码结构：

• 类型 I：由任意四个不同的字符组成，从允许的字符中选择；
• II型：由五个不同的字符组成，以三个字母开头，后跟一个数字，最后是一个特殊字符；
• 类型 III：由六个不同的字符组成，以两个字母开头，后跟两个数字，最后是两个特殊字符。

考虑 $p_1$、$p_2$ 和 $p_3$ 偶然发现彼此的概率，在 第一次尝试，分别为类型 I、II 和 III 的密码。

在这些条件下，出现概率最小的密码类型 第一次尝试时偶然发现的是

• A) 输入 I，因为 $p_1 < p_2 < p_3$。
• B) 类型 I，因为它的字符较少。
• C) 类型 II，因为它有更多的字母。
• D) 类型 III，因为 $p_3 < p_2 < p_1$。
• E) 类型 III，因为它有更多的字符。

解决

第一次尝试就正确的概率是 $\frac{1}{N}$，其中 $N$ 是 可能的密码数量。 密码越多，概率越低。

1。可用字符。 $10 + 26 + 26 + 6 = 68$ 个字符，正在 $52$ 字母。

2。计算密码数量（乘法原理，不包含重复字符）。

• 类型 I：$N_1 = 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 = 19\thinspace 545\thinspace 240$；
• 类型 II：$N_2 = \underbrace{52 \cdot 51 \cdot 50}_{\text{letras}} \cdot \underbrace{10}_{\text{algarismo}} \cdot \underbrace{6}_{\text{especial}} = 7\thinspace 956\thinspace 000$；
• 类型 III：$N_3 = \underbrace{52 \cdot 51}_{\text{letras}} \cdot \underbrace{10 \cdot 9}_{\text{algarismos}} \cdot \underbrace{6 \cdot 5}_{\text{especiais}} = 7\thinspace 160\thinspace 400$。

3。比较。$N_1 > N_2 > N_3$，然后

I 类密码是最难发现的。

答案：替代A。

请注意问题： 单独使用更多字符并不意味着更多 安全（备选方案 E）。类型 III 有 6 个字符，但位置是 非常有限（仅限 10 数字和 6 特殊）；类型 I 有 4 个字符， 但每个都可以是 68 中的任何一个。

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问题158：用两个投票箱抽签（概率）

陈述

在公立学校，第一年的入学是通过抽签的方式进行的。今年 有 55 位候选人，其申请编号为 01 至 55。每人抽签 登记号码将分阶段进行，使用两个投票箱。来自 在第一个投票箱中，从编号为0至9的球中抽取一个球，即 将代表要抽取的注册号的单位数字， 然后，从第二个投票箱中抽出一个球来代表数字 这个数字的几十个。第一次绘制之后，绘制之前 十位数，第二个瓮中存在的球将是 只有那些数字形成的数字，以及已经绘制的数字， 01 至 55。

考生报名号50和02被抽中的概率 分别是

• A) $\frac{1}{50}$ e $\frac{1}{60}$
• B) $\frac{1}{50}$ e $\frac{1}{50}$
• C) $\frac{1}{50}$ e $\frac{1}{10}$
• D) $\frac{1}{55}$ e $\frac{1}{54}$
• E) $\frac{1}{100}$ e $\frac{1}{100}$

解决

在每种情况下：绘制正确个位数字的概率 次 然后抽出正确的十的概率。

**1。注册50。**单位0：概率$\frac{1}{10}$。从 01 到 55 以 0 结尾：10、20、30、40、50。第二个瓮有 5 球 （1、2、3、4、5），得到5的几率是$\frac{1}{5}$：

**2。注册02。**单位2：概率$\frac{1}{10}$。从 01 到 55 以 2 结尾：02、12、22、32、42、52。第二个瓮有 6 球 （0到5），得到0的几率是$\frac{1}{6}$：

答案：替代A（$\frac{1}{50}$和$\frac{1}{60}$）。

请注意问题：平局在 55 之间的概率不相等 候选人（备选方案 D 是单个投票箱的情况）。那些数字 以 0 结尾的候选人将机会分配给仅 5 的候选人和以 1 结尾的候选人 5 除以 6。

要回顾，请参阅[概率导论]（https://www.eulereyes.com/cn/posts/basic/real/prob/introprob/).

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问题 159：河流深处的光（几何级数）

陈述

该图显示了光强度如何随着增加而减少 河流的深度，$L_0$ 是其表面的强度。

考虑到光强度随着每增加一米而降低 深度，根据与方案相同的模式。

6米深度对应的发光强度等于

• A) $\frac{1}{9} L_0$
• B) $\frac{16}{27} L_0$
• C) $\frac{32}{243} L_0$
• D) $\frac{64}{729} L_0$
• E) $\frac{128}{2\thinspace 187} L_0$

解决

**1。找出规律。**从一米到下一米，强度为 乘以$\frac{2}{3}$：

它是比率$\frac{2}{3}$的几何级数。在深度 $n$ 米处：

2。深度 6 米。

答案：替代D ($\frac{64}{729} L_0$)。

注意陷阱： 替代 E 是 $\left(\frac{2}{3}\right)^7$ C 是 $\left(\frac{2}{3}\right)^5$：“多一/少一”错误。在 表面 (0 m) 的指数为 0，则 6 m 的指数为 6。

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问题 160：每日最低金额（二次函数）

陈述

通过分析一家公司的销售额，经理得出的结论是，每天的销售额 收集的金额（以千雷亚尔为单位）可以通过以下表达式计算 $V(x) = \frac{x^2}{4} - 10x + 105$，其中 $x$ 的值代表天数 该月的日期，范围从 1 到 30。

评估公司月度业绩的因素之一是检查公司的月度业绩 整个月收集的每日最低金额 $V_0$ 并对 根据以下类别划分性能，其中数量 以千雷亚尔表示。

• 太棒了：$V_0 \geq 24$
• 好：$20 \leq V_0 < 24$
• 正常：$10 \leq V_0 < 20$
• 坏：$4 \leq V_0 < 10$
• 坏：$V_0 < 4$

在分析的案例中，公司的绩效分类是什么？

• A) 太棒了。
• B) 好。
• C) 正常。
• D) 不好。
• E) 太糟糕了。

解决

$V$ 是一个二阶函数，其正系数为 $x^2$ ($a = \frac{1}{4}$)，那么它的抛物线有向上的凹度且较小的 ** 值位于顶点**。

1。顶点横坐标。

日期 20 介于 1 和 30 之间，因此最小值出现在该月内。

2。最小值。

3。排序。 $4 \leq 5 < 10$：性能差。

答案：替代D（坏）。

小心恶作剧： 初始值 $V(0) = 105$ 或者 $V(1) = 95{,}25$ 很高，可能会让人认为“很棒”，但标准是最小 该月的金额。

要查看，请参阅 2 次方程.

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问题 161：血液酒精浓度

陈述

饮酒后驾驶是一种极其危险的态度 因为从第一剂开始，人就已经开始失去 运动和反应的敏感性。虽然消除和吸收 酒精取决于每个人以及身体如何代谢酒精 物质，摄入后第一个小时结束时，酒精浓度 血液中的 ($C$) 大约相当于酒精量 ($q$) 的 90% 摄入后，该浓度的完全消除可能需要长达 12 小时。

发布日期：http://g1.globo.com. 访问日期：1 12 月 2018（已修改）。

在这些条件下，在摄入数量 $q$ 后的第一个小时结束时 酒精，该物质在血液中的浓度$C$用代数表示 通过

• A) $C = 0{,}9q$
• B) $C = 0{,}1q$
• C) $C = 1 - 0{,}1q$
• D) $C = 1 - 0{,}9q$
• E) $C = q - 10$

解决

“$C$ 匹配 90% of $q$” 直接翻译为：

答案：替代A ($C = 0{,}9q$)。

要小心陷阱： 替代 B ($0{,}1q$) 将是以下部分： 不在血液中（剩余的 10%）。而“90% of $q$”是 乘法，而不是 C、D 和 E 中的减法。

要查看，请参阅百分比基础知识.

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问题 162：当加密货币 A 的价值超过 B

陈述

一位新手投资者观察了显示价值演变的图表 两种加密货币 A 和 B 与时间的关系。

在连续几个小时内，在九个瞬间观察到这些值， 以准确的时间表示。

在多少这样的时刻，加密货币 A 比加密货币更有价值 加密货币B？

• A) 3
• B) 4
• C) 6
• D) 7
• E) 9

解决

这里的图表水平轴上没有时间。每个标记点都是一个 即时：横坐标是加密货币A的价值，纵坐标是 加密货币 B 的价值（均以千雷亚尔为单位）。当 A 更有价值时 水平坐标大于垂直坐标。

1。阅读九点。

2。计数。 在 9 h、12 h、13 h 和 14 h 时，A 的价值高于 B：4 时刻。

直观的方式：画线$B = A$（经过(1,1),(2,2)…的对角线。 它下面的点****是 A > B 的时刻。

答案：替代B (4)。

请注意问题：在 10 h 和 11 h 处，值相等 （点位于对角线上）。 “更有价值”需要不平等 严格的;对它们进行计数得到 6（替代方案 C）。

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问题163：新机器的声级（对数）

陈述

暴露于某些声音水平可能会导致听力损伤。因此，在 一个行业，根据机器所采取的预防措施 员工操作时声音强度水平 $N$，以分贝 (dB) 为单位， 该工人已暴露，为 $N = \log_{10} I^{10} - \log_{10} I_0^{10}$、$I$ 声音强度和 $I_0 = 10^{-12}$ W/m²。

可访问：www.sofisica.com.br。访问时间：8 7 月 2015（已修改）。

当声音被认为很低，即 $N = 48$ dB 或更低时，必须 采用预防措施I。如果声音适中，当$N$为 在（48 dB，55 dB）范围内，必须采取预防措施II。当 声音中等大小，相当于范围（55 dB、80 dB）中的$N$，测量 应采取的预防措施是III。如果 $N$ 在（80 dB、115 dB）范围内， 当声音较大时，应采取IV预防措施。如果 声音被认为非常响亮，$N$ 大于 115 dB，您必须使用 预防措施V

购买了一台 $I = 8 \times 10^{-8}$ W/m² 的新机器，并将 根据其产生的噪音级别进行分类。

将 0,3 视为 $\log_{10} 2$ 的近似值。

操作新机器的员工必须采取预防措施

• A) I.
• B) 二．
• C) 三．
• D) 四．
• E) V.

解决

1。简化公式。 按属性 $\log a^n = n \log a$ 和 $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$：

2。强度比。

**3。对数。**如$8 = 2^3$：

4。声级。 $N = 10 \cdot 4{,}9 = 49$ dB。

5。速率。 49 dB 在范围（48 dB、55 dB）内：中等声音， 预防措施II。

答案：替代B (II)。

注意问题： 49 非常接近 48 的限制。 WHO 忘记指数的因子 10，找到 $N = 4{,}9$ 并标记度量 I。

要查看，请参阅对数的属性.

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问题 164：雕塑的质量（圆锥体、树干和圆柱体）

陈述

一位视觉艺术家用一块硬木雕刻出一座雕塑， 分阶段。首先，雕刻一个高为 36 厘米、直径为 的直圆锥体。 底座尺寸 18 厘米。然后，从这个圆锥体中取出一个较小的圆锥体，其直径 底边长 6 厘米，从而得到一个截头圆锥体，如图所示 图。

然后，钻这个圆锥台，取出一个直圆柱体，直径为 6 cm，其对称轴与原始圆锥体的对称轴相同。这样，最终， 雕塑的形状为截头圆锥体，带有圆柱形底座穿孔 基地。

用于制作该雕塑的木材类型的质量等于 0,6 克每立方厘米体积。使用 3 作为 $\pi$ 的近似值。

该雕塑的质量是多少（克）？

• A) 1 198,8
• B) 1 296,0
• C) 1 360,8
• D) 4 665,6
• E) 4 860,0

解决

圆锥体体积：$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$。气缸容积：$V = \pi r^2 h$。

**1。大圆锥体。**半径 9 厘米，高度 36 厘米：

**2。小锥体（从顶部移除）。**它与大锥体类似。闪电 是3厘米，9的第三部分，所以高度也是第三部分：12厘米。

3。躯干。 $V_1 - V_2 = 2\thinspace 916 - 108 = 2\thinspace 808$ cm3，带有 高度 $36 - 12 = 24$ 厘米。

4。圆柱形孔。 半径 3 厘米，从基部到基部穿过树干（高度 24 厘米）：

5。雕塑的体积和质量。

答案：替代B (1 296,0 g)。

小心陷阱： 替代 C (1 360,8) 对应于 $(2\thinspace 916 - 648) \cdot 0{,}6$：忘记从顶部取下小锥体。 另一个常见错误是使用高度为 36 厘米的孔而不是 24 厘米。

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问题 165：平均工资（加权平均）

陈述

公司的 100 名员工分布在两个部门：生产部门和 行政管理。同行业员工获得有价值的薪资 平等。该表显示了每个部门的员工人数及其情况 各自的工资。

该公司 100 名员工的平均工资（雷亚尔）为

• A) 2 000,00.
• B) 2 500,00.
• C) 3 250,00.
• D) 4 500,00.
• E) 9 000,00.

解决

每份工资均按领取该工资的员工人数（平均 加权）：

答案：替代C (R$ 3 250,00)。

要小心陷阱： 替代 D (4 500,00) 是简单平均值 $\frac{2\thinspace 000 + 7\thinspace 000}{2}$，忽略了 3 次 更多的生产员工。 E(9000,00)只是两个工资的总和。

要查看，请参阅位置测量.

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