OBMEP 2021：第二阶段 - 级别 1

练习 1

在板上，单词 OBMEP 的每个字母代表从 1 到 5 的一个整数。不同字母代表 不同的数字。此外，写在棋盘侧面的每个数字都是棋盘上字母值的总和。 对应的水平线。

挑战

A) 求字母 O 的值。

响应： 1

挑战

当我们添加第一行的值时，我们有

$$O + O + O + O = 4. $$

$$4\times O = 4. $$

因此，$O = 1.$

B) 求字母 B 的值。

响应： 11

挑战
  • 从字母 A 中我们得到 $O=1$。
  • 从第二行我们有：

记住比例，有关更多详细信息，请参阅一级方程。

$$B + B + O + B = 7$$

$$3B + O = 7$$

$$3B + 1 {\color{red}{-1}} = 7 {\color{red}{-1}}$$

$$3B = 6$$

$$3B \times {\color{red}{\frac{1}{3}}} = 6 \times {\color{red}{\frac{1}{3}}}$$

$$B = 2$$

C) 求字母 M 的值。

挑战
  • 来自 (a) $O=1$
  • 来自 (b) $B=2$
  • 当我们添加最后一行的值时，我们有
$$E + P + O + B = 12$$

$$E + P + 1 + 2 = 12$$

$$E + P + 3 {\color{red}{-3}} = 12 {\color{red}{-3}}$$

$$E + P = 9$$

另一方面，在语句中，字母 $O, B, M, E$ 和 $P$ 按某种顺序代表数字 $1, 2, 3, 4$ 和 $5.$

所以，

$$ \begin{aligned} \underbrace{O + B}_{1+2=3} + M + \underbrace{E + P}_{9} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\\ 3 + M + 9 = 15\\ M + 12 {\color{red}{-12}} = 15 {\color{red}{-12}} \end{aligned} $$

因此，$M = 3.$

D) 什么字母代表数字 5？

挑战
  • 我们已经有$O = 1$和$B = 2$；
  • 从第三行开始遵循$M + E = 7$
    • $E=7-3 = 4$
  • 因此，$P = 5$

练习 2

30 厘米尺子以毫米为单位刻度，带有所示的大、中、小标记 图中。

挑战

A) 第 11 个小标记和第 3 个中标记之间的距离（以毫米为单位）是多少？

挑战
  • 第三个中间标记标记为 2,5 厘米（25 毫米）。
  • 第 11 个小标记标记为 1,3 厘米（13 毫米）。
  • 这些标记之间的距离（以毫米为单位）为 $25 - 13 = 12$ 毫米。

B) 整个尺子上有多少个小标记？

挑战
  • 刻度数为 $5-1 = 4$ 个刻度；
  • 1 对具有 $8$ 标记；
  • 1 30 厘米尺有 $30 \times 8 = 240$ 标记；

C) 距第 215 个小标记 73 毫米的标记是什么？证明你的答案合理。

为了找出哪对大标记之间的第 215 个小标记，我们必须计算 215 除以 8 的商。

挑战 $$D=d\times q +r$$

$$215 = 26 × 8 + 7$$
  • 第 215 个小标记则位于第 26 对大标记之后的第 7 个小标记上。
  • 然后第 215 个小标记标记为 26,8 厘米（268 毫米）。
  • 距第 215 个小标记 73 毫米的标记必然出现在此之前 标记，否则将不属于规则范围。
  • 距离第 215 个标记 73 毫米的标记是一个小标记，则
  • 第 20 个平均标记处的 $268 - 73 = 195$ mm。

练习 3

Alice、Beatriz 和 Cláudia 住在一条 200 米长的街道上。 Alice 住在街道的起点，Beatriz 距离 Alice 和 Cláudia 80 米，住在街道的尽头。 路。他们时常见面，总是离开家。

挑战

A) Alice 和 Beatriz 相遇时经过的距离之和是多少？ 去克劳迪娅家集合？

挑战
  • 令 $d_{ac} = 200m$ 为从 Alice 到 Cláudia 的距离，
  • $d_{bc}= 200-80=120m$ 从 Beatriz 到 Cláudia 的距离
  • $d_{abc}$ Alice 到 Cláudia 的距离以及 Beatriz 到 Cláudia 的距离
$$d_{abc} = d_{ac} + d_{bc} = 200 + 120 = 320 m$$

B) 如果 Alice、Beatriz 和 Cláudia 在距起点 150 米的街道上相遇，则距离之和是多少 他们会经历什么？

挑战
  • 令 $d_{ae} = 150m$ 为爱丽丝到集合点的距离，
  • $d_{ce}= 50m$ 从 Cláudia 到集合点的距离
  • $d_{be}= 150-80 = 70m$ 从 Beatriz 到集合点的距离
  • $d_{t}$ 总距离
$$d_{t} = d_{ae}+ d_{ce} + d_{be} = 150 + 50 + 70 = 270 m$$

C) 三个朋友决定在街上的某个地点见面，这样他们所走过的距离总和 尽可能小。他们应该在距离街道起点多少米处相遇？

挑战
  • 在任何交汇点，Alice 和 Cláudia 之间的行驶距离之和始终为 200m。
    • $d_{ac} + d_{ca}= 200m$ Alice 到 Cláudia 的距离以及 Cláudia 到 Alice 的距离
  • 为了尽可能缩短旅行的距离，Beatriz 永远不应该离开家，也就是说，集合点应该在 Beatriz 的家里。
    • $d_{bc}= 0$ 从 Beatriz 到 Cláudia 的距离。

因此，最小距离为200米。

练习 4

Janaína 将长 16 厘米、宽 6 厘米的矩形纸板切成四个三角形 等长方形，如图所示。

挑战

A) 每个三角形的面积是多少？

挑战
  • 4 个三角形如何相等
  • 只需计算纸板的面积并除以4即可。
  • 因此，任何这些三角形的面积都等于 cm²。
$$A_{\text{tri}} = \dfrac{A_{\text{quad}}}{4} = \dfrac{16\times 6}{4} = 24 cm^2$$

B) 然后，Janaína 使用四个三角形组装了一个带孔的正方形 里面，如图所示。洞的面积是多少？

挑战
  • 正方形中心的孔有一条边，其大小等于三角形两条边的测量值之差。
  • 正方形的边长 $=8 - 6 = 2$ 厘米。
  • 因此，孔的面积为$A_{\text{quad}} = 2 \times 2 = 4 cm^2$。

C) Janaina 组装的正方形的边长是多少？

挑战
  • Janaína 创建的正方形面积等于 4 三角形面积之和加上孔的面积。
  • 因此，这个正方形的面积等于
$$ \begin{aligned} A_{\text{total} } &= \underbrace{ A_{\text{cartolina} } }_{ \text{item a} } + \underbrace{ A_{\text{buraco} } }_{ \text{item b} }\\ &= 96 + 4=\\ &= 100 cm^2\\ &= \underbrace{10}_{\text{lado}} \times 10 cm^2\\ \end{aligned} $$

因此正方形的边长是$10 cm$。

练习 5

Marco 用数字 1、2、3、4、5、6、7、8 和 9 填充方格 3 × 3，不重复其中任何一个。

挑战

A) Marco 填写了一个网格，以便将四个数字写在正方形中 突出显示的 2 × 2 具有尽可能小的总和。五个书面数字的总和是多少 这个广场外面？

挑战
  • 从数字1、2、3、4、5、6、7、8和9中选择四个数字。
  • 当这些数字尽可能最小时，我们可以获得最小的总和
  • 小总和 $=1 + 2 + 3 + 4 = 10$。
  • 在这个方格外面，他写下了数字5、6、7、8和9，其
  • 求和 $=5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35.$

B) Marco 设法填写了另一个方格，以便其中一个方格中写入的数字之和 2 × 2 突出显示的是 21，另一个突出显示的是 26。下面的两个图是同一网格的表示。 马可在网格的中心方格中可以写出的最小数字是多少？

挑战
  • 这两个广场共有的中央房屋，呈黄色。
  • 灰色的房子，一栋位于右上角，另一栋位于左下角，位于突出显示的方块之外。
  • Marco 在突出显示的方块中写入的数字之和等于 21 + 26 = 47 。

这个总和是：

$$ \text{azul} + \text{amarelo} + \text{amarelo} + \text{vermelho} = 47$$

Marco 写下的所有数字的总和是

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$$

写成

$$ \text{cinza}+ \text{cinza}+ {azul} + \text{amarelo} + \text{vermelho} = 45$$

我们用缩放的方法在两侧添加一个黄色的块。

$$ \begin{aligned} 45 + \text{amarelo} &= \underbrace{\text{cinza}+ \text{cinza}}_{\text{menor soma} = 1 +2=3}+ \underbrace{\text{azul} + \text{amarelo} + \text{amarelo} + \text{vermelho} }_{47} \\ 45 + \text{amarelo} &= 3 + 47 \\ 45 + \text{amarelo} &= 50 \\ \text{amarelo} &= 5 \\ \end{aligned} $$

C) Marco 设法填写了第三个网格，以便四个网格中写入的数字之和 突出显示的 2 × 2 方块是 18、25、21 和 24。此外，四个角上写的数字之和 网格的3×3为16。下面的四张图是同一网格的表示。什么是 马可在中央盒子里写的数字？

挑战

当我们将可能性与颜色放在一起时，我们有：

  • 红色棋子出现 4 次
  • 蓝色碎片出现 2 次
  • 黄色碎片出现 2 次
  • 这些部分的总和等于 88
$$4\text{vermelho}+2\text{azul}+1\text{amarelo}= 88$$

另一方面，可能的数字之和是 45

$$\text{vermelho}+\text{azul}+\text{amarelo}= 1 + 2+3+4+5+6+7+8+9=45$$

当我们乘以 2

$$2\text{vermelho}+2\text{azul}+2\text{amarelo}= 90$$

从两个方程中我们可以将一个减去另一个

$$ \begin{cases} 2\text{vermelho} & + 2\text{azul} & + 2\text{amarelo} = 90\\ 4\text{vermelho} & + 2\text{azul} & + 1\text{amarelo} = 88 \end{cases} $$

我们得到

$$1\text{amarelo}- 2\text{vermelho}= 2$$

$$1\text{amarelo}= 2 + 2\text{vermelho}$$

从语句中我们得知角点（黄色块）的总和等于 16。由此，我们得到：

$$1\text{amarelo}= 2 + 2\text{vermelho}$$

$$16= 2 + 2\text{vermelho}$$

$$2\text{vermelho} = 14$$

$$\text{vermelho} = \dfrac{14}{2} = 7$$

因此，红色棋子的价值是7。