1640 年 2 月，巴黎流传着一张只印了一面的纸，像一张告示，标题是《圆锥曲线论》。上面没有证明，只有定义、三个引理和一串结论。作者 16 岁，名叫布莱兹·帕斯卡。

梅森神父把这张纸拿给笛卡儿看，笛卡儿的反应是怀疑：他认为这个年轻人的东西全是从吉拉尔·德萨格那里学来的。德萨格是帕斯卡敬佩的建筑师和几何学家。德萨格的影响确实存在，帕斯卡本人也承认这一点。但这张纸上的核心结论是全新的。

圆锥曲线

用一个平面去截一个圆锥。根据倾斜的角度不同，截口的边缘会是椭圆、抛物线或双曲线；圆是椭圆的一种特殊情况。这些曲线统称圆锥曲线，从公元前 3 世纪的阿波罗尼奥斯起就有人研究。

德萨格有一个改变了这门学问的想法：把圆锥曲线看作圆的影子。用手电筒照一个圆，它投在墙上的影子可以是椭圆、抛物线或双曲线。所以，圆的某个性质如果只涉及点和直线，不涉及距离和角度的测量，那它在影子里也会保留下来，对所有圆锥曲线都成立。这就是射影几何的思想。

六边形定理

在一条圆锥曲线上按顺序标出六个点 $A,B,C,D,E,F$，把它们连成一个六边形。相对的边是 $AB$ 和 $DE$、$BC$ 和 $EF$、$CD$ 和 $FA$。把每一对延长，直到它们相交：

$$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$

帕斯卡定理说：$P$、$Q$、$R$ 三点总在同一条直线上。

这六个点在曲线上可以按任意顺序排列，六边形甚至可以自己和自己相交。如果两条对边平行，它们就交于一个“无穷远点”，而那条直线就与它们平行。帕斯卡把这个图形叫作神秘六边形。

在抛物线上验证

我们用计算来检验这条定理。在抛物线 $y=x^2$ 上取横坐标为 $0,1,2,3,4,7$ 的六个点：

$$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$

先介绍一个捷径。经过抛物线上横坐标为 $u$ 和 $v$ 的两点的直线是

$$y=(u+v)x-uv.$$

确实，在 $x=u$ 处它的值是 $u^2+uv-uv=u^2$，在 $x=v$ 处是 $v^2$。下面计算三个交点。

点 P。 $AB$ 的 $u=0,v=1$：$y=x$。$DE$ 的 $u=3,v=4$：$y=7x-12$。令两者相等，$x=7x-12$，所以 $x=2$，$P=(2,2)$。

点 Q。 $BC$ 是 $y=3x-2$，$EF$ 是 $y=11x-28$。令两者相等，$8x=26$，所以 $x=\frac{13}{4}$，$Q=\left(\frac{13}{4},\frac{31}{4}\right)$。

点 R。 $CD$ 是 $y=5x-6$，$FA$ 是 $y=7x$。令两者相等，$-2x=6$，所以 $x=-3$，$R=(-3,-21)$。

帕斯卡直线

这三个点都在直线

$$5y=23x-36$$

上。在 $P$ 点：$5\cdot2=10$，$23\cdot2-36=10$。在 $Q$ 点：$5\cdot\frac{31}{4}=\frac{155}{4}$，$23\cdot\frac{13}{4}-36=\frac{299-144}{4}=\frac{155}{4}$。在 $R$ 点：$5\cdot(-21)=-105$，$23\cdot(-3)-36=-105$。三个点都对得上。

几乎随手选的六个点，三个满是分数的交点，却全都落在同一条直线上。一次计算不能证明定理对所有圆锥曲线都成立，但它说明这个结论并不显然：图中看不出有什么对称性迫使它们共线。

帕斯卡之前与之后

大约在公元 300 年，亚历山大的帕普斯就已经证明了一个特殊情况：当“圆锥曲线”是一对直线、每条直线上各有三个点的时候。帕斯卡看出，同样的结论对任何圆锥曲线都成立。1806 年，法国人夏尔·布里昂雄证明了“反过来”的版本：在一个各边都与圆锥曲线相切的六边形中，三条主对角线交于一点。

练习：求经过抛物线上点 (1, 1) 和 (3, 9) 的直线

取 $u=1$、$v=3$，公式给出 $y=4x-3$。在 $x=1$ 时 $y=1$；在 $x=3$ 时 $y=9$。两个点都在这条直线上。

练习：例子中的直线 AB 和 CD 交于哪一点？

$AB$ 是 $y=x$，$CD$ 是 $y=5x-6$。令两者相等，$x=5x-6$，所以 $x=\frac32$，交点是 $\left(\frac32,\frac32\right)$。

资料来源： 帕斯卡传记，MacTutor · 德萨格传记，MacTutor。

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