在巴西的 Mega-Sena 彩票中，你要从 60 个号码里选 6 个。一共有多少种不同的选法？要全部列出来得花上一辈子：超过五千万种。但我们可以不列举也能计数，帕斯卡就展示了怎么做。

不计顺序地选取

先从一个小例子开始：从 5 个人中选 2 个人组成委员会，有多少种选法？

如果顺序有关系，第一个人有 $5$ 种选择，第二个人有 $4$ 种：$5\cdot4=20$。但在委员会里，“安娜和布鲁诺”与“布鲁诺和安娜”是一样的，每一对都被算了两次。所以委员会共有 $20/2=10$ 种。

一般地，从 $n$ 个东西中不计顺序地选出 $k$ 个，方法数是

$$\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$

其中 $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$。读作“从 $n$ 中取 $k$ 的组合数”。对于那个委员会，$\binom52=\frac{120}{2\cdot6}=10$。

为什么它们就是三角形里的数

帕斯卡注意到，$\binom nk$ 恰好就是算术三角形中的数 $C(n,k)$。原因是同一条加法规则。

在这群人中挑出一个人，比如安娜。从 $n$ 个人中选出的每个 $k$ 人委员会，要么包含安娜，要么不包含。如果包含，就还要从其余 $n-1$ 人中选 $k-1$ 个；如果不包含，这 $k$ 个人就全部来自其余的 $n-1$ 人。所以

$$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},$$

这正是三角形的规则。两者的边上都是同样的 $1$，又遵守同样的规则，所以它们是同一张表。

Mega-Sena

现在大数目的计算就容易了：

$$\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=50\,063\,860.$$

买一注的中奖机会是五千多万分之一。如果你每周买一注，平均要等将近一百万年才能中一次。

和的乘方

同样的推理解释了三角形的另一次出场。把

$$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$

乘开时，结果中的每一项都是从三个括号里各取 $a$ 或 $b$ 得到的。要得到 $a^2b$，必须恰好在三个括号中的一个里取 $b$：有 $\binom31=3$ 种取法。因此

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$

一般地，

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.$$

取 $a=b=1$，左边就是 $2^n$：又是第 $n$ 行的和。这个公式适用于整数指数。十年后，牛顿发现了指数为分数时会怎样：见广义二项式。

醉汉的随机漫步

一个人从酒吧出来，想走回家。他每一步要么向前（$F$），要么向后（$T$），机会相等。走两步之后，可能的路线是

$$FF,\quad FT,\quad TF,\quad TT.$$

四种中有两种回到了出发点。走三步共有八条路线：$FFF$，三条有两个 $F$，三条有一个 $F$，还有 $TTT$。注意，这个计数正是二项式的展开：

$$(F+T)^2=F^2+2FT+T^2,\qquad (F+T)^3=F^3+3F^2T+3FT^2+T^3.$$

走 $n$ 步后共有 $2^n$ 条路线，恰好向前走了 $k$ 步的概率是

$$\frac{1}{2^n}\binom nk.$$

这就是上一篇里碗的喷泉，只是把水换成了脚步。这个模型叫作随机漫步，今天被用来描述气体中分子的运动、股票的价格，以及香水在房间里的扩散。

第一个归纳法证明

在论文中，帕斯卡想证明三角形每一行都具有的一条性质：同一行中相邻的两个数之比是

$$\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}=\frac{n-k}{k+1}.$$

他不可能逐一检验无穷多行。于是他分两步论证：第一，这条性质在第一行成立；第二，如果它在某一行成立，那么它在下一行也成立。所以它在所有行都成立。

这种论证就是数学归纳法。类似的想法以前也出现过，但帕斯卡的论文被认为是第一次把它作为一种方法清楚地表述出来。

有了这个比值，一行中的每个数都可以由前一个数乘一次得到，不必构造整个三角形。在第 5 行：$1$，然后 $1\cdot\frac51=5$，然后 $5\cdot\frac42=10$，然后 $10\cdot\frac33=10$。

练习：(a + b)⁴ 中 a²b² 的系数是多少？

要在四个括号中选出两个取 $b$：$\binom42=6$。确实，$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$。

练习：走了 4 步之后，醉汉回到出发点的概率是多少？

他需要向前 2 步、向后 2 步。概率是 $\dfrac{1}{2^4}\binom42=\dfrac{6}{16}=\dfrac38$，即 37.5%。

资料来源： 帕斯卡传记，MacTutor · 帕斯卡与费马的通信，英译本。

帕斯卡的全部主题 · ← 帕斯卡三角形：用加法搭起来 · 德·梅雷骑士的骰子与公平的分配 →

图片来源.