Euler's Eyes
2026-10-11
流数：如何度量瞬时变化
一辆汽车从一座城市出发，一小时后到达 90 公里外的另一座城市。平均速度是 90 公里/小时。但每一瞬间，速度表上的读数都不一样。它到底在测量什么？速度是距离除以时间，可在一个瞬间里，既没有走过距离，也没有经过时间。零除以零给不出答案。
这正是牛顿在 1665 年想要回答的问题。他的答案就是流数法。
流动的量
牛顿把每个变化的量想象成随时间流动的东西，就像河里的水。流动的量，他称为流量（fluent）；它流动的速率，称为流数（fluxion）。为了标记流数，他在字母上方加一个小点。在 1704 年出版的《曲线求积论》中，他写道：
设 $x$、$y$、$z$ 为流量，它们的流数分别记作 $\dot x$、$\dot y$、$\dot z$。
— 艾萨克·牛顿，《曲线求积论》（1704）
如果 $x$ 是位置，$\dot x$ 就是速度。换句话说，速度是从空间中“流”出来的。两个点 $\ddot x$ 表示流数的流数：加速度。
牛顿的算法
为了弄清 $y=x^2$ 如何变化，牛顿让一个极小的时间间隔流过，他把它记作 $o$。在这段时间里，$x$ 变成 $x+\dot x\,o$，$y$ 变成 $y+\dot y\,o$。由于关系 $y=x^2$ 仍然成立：
$$y+\dot y\,o=(x+\dot x\,o)^2=x^2+2x\dot x\,o+\dot x^2o^2.$$两边减去 $y=x^2$，再除以 $o$：
$$\dot y=2x\dot x+\dot x^2\,o.$$接下来是大胆的一步：既然 $o$ 是“无穷小”，牛顿就把最后一项丢掉了。剩下 $\dot y=2x\dot x$，也就是说，$y$ 的变化速度是 $x$ 的 $2x$ 倍。
同样的计算，今天的写法
借助极限，我们可以不靠“幽灵”重新论证。在 $x$ 与 $x+h$ 之间（$h\neq0$），割线的斜率是
$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h.$$先在 $h$ 仍不为零时化简。然后再问：当 $h$ 越来越小时，$2x+h$ 趋近于什么值？答案是 $2x$：
$$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)=2x.$$图中，与曲线相交于两点的直线就是割线。减小 $h$，看割线如何转动，直到与切线重合。
位置、速度与加速度
流数法是为运动而生的。假设一个物体的位置（单位：米）是
$$S=12-7t+t^2.$$$S$ 的流数是速度，速度的流数是加速度：
$$\dot S=-7+2t,\qquad \ddot S=2\ \text{m/s}^2.$$一开始速度为负：物体向后运动。在 $t=3.5$ 秒时，$\dot S=0$，物体停顿了一瞬。然后它又向前运动，越来越快。这个速度为零的瞬间正是 $S$ 的图像的最低点，这说明流数也能用来求最大值和最小值。
单位可以帮助检查计算。要让 $S=12-7t+t^2$ 的结果是米，每一项都必须以米为单位：$12$ 的单位是 m，$7$ 的单位是 m/s，$t^2$ 的系数 $1$ 的单位是 m/s²。每求一次流数，就多除以一个秒：$\dot S$ 的单位是 m/s，$\ddot S$ 的单位是 m/s²。如果一个算式把米和米每秒加在一起，那一定是哪里出错了。这种检查叫作量纲分析，是物理学中最简单也最有用的工具之一。
流数、导数与莱布尼茨
牛顿关于流数的论著大约在 1671 年就已完成，却直到他去世后的 1736 年才出版。与此同时，莱布尼茨独立地得出了同样的思想，并于 1684 年率先发表，使用的是另一种记号：$\dfrac{dy}{dx}$。今天，微积分中用莱布尼茨的记号，物理中则用牛顿的小点表示对时间的导数。
练习：y = x² 在 x = 3 处的斜率是多少？
导数是 $2x$，所以斜率为 $6$。该点的切线是 $y-9=6(x-3)$，即 $y=6x-9$。
练习：若 S = 5t²，t = 2 时的速度和加速度各是多少？
$\dot S=10t$，所以 $t=2$ 时速度为 $20$。加速度 $\ddot S=10$ 是常数。
资料来源： 牛顿项目中关于级数与流数的手稿 · 牛顿与微积分，MacTutor。
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