面积与积分：流数的逆运算

测量曲边图形的面积是数学中最古老的问题之一。大约公元前 250 年，阿基米德证明了抛物线弓形的面积是其内接三角形面积的 $\frac43$。这是天才之举，但它是“量身定做”的：每遇到一条新曲线，就需要一个新想法。

到了 17 世纪，费马、卡瓦列里、沃利斯等人已经能对许多 $n$ 值计算 $y=x^n$ 下的面积。所缺的是一条普遍法则；所缺的，还有牛顿和莱布尼茨各自领悟到的一点：求面积与求变化率是互逆运算。

面积是一个会增长的量

设想曲线 $y=f(x)$ 下方从 $0$ 到某点 $x$ 的面积，记作 $A(x)$。把右边界从 $x$ 推到 $x+h$，面积就多出一条细窄的条带。

这条带几乎是一个高为 $f(x)$、宽为 $h$ 的矩形。所以

$$A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{A(x+h)-A(x)}{h}\approx f(x).$$

条带越细，近似越好。取极限：

$$A'(x)=f(x).$$

用牛顿的语言说：面积的流数就是曲线的高度。面积增长的速度恰好由高度给出。要求面积，只需找到一个流数为 $f$ 的函数，也就是反方向走一遍。

严格地说，我们把条带夹在两个矩形之间：一个取 $f$ 在该区间上的最小高度，另一个取最大高度。若 $f$ 连续，当 $h\to0$ 时这两个高度都趋于 $f(x)$，条带便被夹在中间。

1669 年，牛顿写了一篇名为《分析》（De analysi）的短论。其中第一条法则用今天的记号来说就是：$y=ax^{m/n}$ 下方从 $0$ 到 $x$ 的面积为

$$\frac{an}{m+n}\,x^{(m+n)/n}.$$

看起来复杂，其实就是你熟悉的法则：$x^k$ 下方的面积是 $\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$。例如，$y=x^2$ 在 $0$ 与 $2$ 之间：

$$\int_0^2 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8}{3}.$$

阿基米德需要一整套证明才能得到这个数，有了这条法则，只要一行。

把这条法则与广义二项式结合起来，牛顿算出了别人不会算的面积。双曲线 $y=\dfrac{1}{1+x}$ 可以化为幂的和：

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$

接下来只需逐项求每个幂下的面积：

$$\int_0^x\frac{dt}{1+t}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$

这块面积就是自然对数 $\ln(1+x)$。取 $x=0.1$，四项给出 $0.0953083$，正确值是 $0.0953102$。

对速度积分得到走过的距离；对密度积分得到质量；对流量积分得到注满水箱的体积。在所有这些情形中，我们知道某个量每一瞬间如何变化，想知道它总共变化了多少。微积分把两个问题联系了起来：怎样变化？以及变化了多少？

练习：求 y = 2x 在 0 与 3 之间的面积

$2x$ 的一个原函数是 $x^2$，面积为 $3^2-0^2=9$。用几何验证：这是一个底为 3、高为 6 的三角形，面积是 $\frac{3\cdot6}{2}=9$。

练习：用牛顿的法则求 y = √x 在 0 与 4 之间的面积

$\sqrt x=x^{1/2}$，所以面积为 $\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac23x^{3/2}$。在 $0$ 与 $4$ 之间：$\dfrac23\cdot8=\dfrac{16}{3}$。

资料来源： 牛顿项目中的数学手稿 · MacTutor 传记。