Euler's Eyes
2026-10-14
只弯不拉：嵌入定理
拿一张纸。你可以把它卷成圆柱而不撕破、不拉伸：用软尺在纸面上量出的距离保持不变。但你无法不起褶皱地用它包住一个球。纸和球面的内蕴几何不同，高斯在 1827 年证明，这种差别，即曲率，在曲面不拉伸地弯曲时不会改变。
19 世纪，波恩哈德·黎曼有一个更大胆的想法：只用内部的测量来描述一个曲面，或任意维数的空间，而不把它画在任何地方。只需要一条规则，即度量，告诉我们怎样测量任意曲线的长度。广义相对论正是这样描述时空的：从内部描述，周围不需要更大的空间。
问题
那么，每一个抽象的黎曼空间，都能画进一个普通的欧几里得空间（也许维数很高），使得在空间内部量出的长度与画出来的长度一致吗？这种"无失真的画法"叫做等距嵌入。这个问题已有半个世纪，几何学家们认为它极其困难。
大约 1953 年，在麻省理工学院，几何学家沃伦·安布罗斯被这位年轻同事的傲慢激怒，向纳什挑战：既然这么厉害，那就把这个问题解决了。纳什接受了赌约。
一个例子：圆柱
我们用一个简单的情形来看看等距嵌入是什么意思。平面上的一条带子有坐标 $(u,v)$ 和普通的度量 $ds^2=du^2+dv^2$：位移为 $du$ 和 $dv$ 的一小段曲线长度为 $\sqrt{du^2+dv^2}$。把带子卷成半径为 $R$ 的圆柱：
$$F(u,v)=\left(R\cos\frac uR,\ R\sin\frac uR,\ v\right).$$导数是
$$F_u=\left(-\sin\frac uR,\ \cos\frac uR,\ 0\right),\qquad F_v=(0,0,1),$$内积为
$$F_u\cdot F_u=1,\qquad F_v\cdot F_v=1,\qquad F_u\cdot F_v=0.$$所以在圆柱上 $ds^2=du^2+dv^2$，与带子上完全一样。卷起来是等距的：在曲面上爬行的蚂蚁察觉不到任何差别。但请注意：隔着圆柱相距很近的两点，沿曲面走可能相距很远。嵌入保持的是曲面上曲线的长度，而不是穿过空间的直线距离。
平坦环面
现在来看一个难的情形。拿一张正方形的纸，把上边和下边粘起来：它变成圆柱。再把圆柱两端粘起来：它变成甜甜圈，即环面。如果用真的纸来做，纸会起皱：普通的甜甜圈外侧曲率为正，内侧为负。由平坦正方形做成、保留正方形度量的环面叫做平坦环面，一个经典定理说，它不能被光滑地、无失真地画进三维空间。它可以无失真地放进四维空间，但放不进三维。
纳什证明了什么
1954 年，纳什发表了一个惊人的结果：如果嵌入只需要一阶光滑，也就是每一点都有确定的切面、但不一定有曲率，那么任何曲面都能等距地放进三维空间。荷兰人尼古拉斯·凯珀在 1955 年完善了这个论证。根据纳什–凯珀定理，就连平坦环面也能放进普通空间。代价是一个极其古怪的曲面，布满了褶皱叠褶皱，尺度越来越小，像分形一样。
1956 年，纳什发表了安布罗斯所提出的情形，即完全光滑的嵌入：每个黎曼流形都可以等距地放进维数足够高的欧几里得空间。为此他发明了一种求解方程的新技术，一种逐次逼近的方法，每一步都修正上一步损失的光滑性。这种技术后来由于尔根·莫泽改进，被称为纳什–莫泽方法，今天被用于天体力学以及与几何毫无关系的微分方程问题。
练习：在半径 R = 1 的圆柱上，点 (1, 0, 0) 和 (−1, 0, 0) 之间沿曲面的路径长度是多少？直线距离呢？
这两点对应 $u=0$ 和 $u=\pi$，$v$ 相同。沿曲面走，长度就是带子上的长度：$\pi\approx3.14$。穿过圆柱的直线距离是 $2$。嵌入保持前者，不保持后者。
练习：圆锥也可以不拉伸地用纸做成。要做一个底面半径为 1/2、母线长为 1 的圆锥，需要半径为 1 的圆盘的多大部分？
圆锥的母线就是圆盘的半径 1。底面圆周长为 $2\pi\cdot\frac12=\pi$，它应等于从圆盘上剪下的扇形的弧长。整个圆盘的周长是 $2\pi$，所以扇形是半个圆盘：把半圆卷起来就成了圆锥。由于纸没有被拉伸，这个圆锥是平面的一部分的等距嵌入。
来源： John Nash，“C¹ isometric imbeddings”，Annals of Mathematics 60（1954）以及 “The imbedding problem for Riemannian manifolds”，Annals of Mathematics 63（1956）· Vincent Borrelli 等，“Flat tori in three-dimensional space and convex integration”，PNAS 109（2012）· 2015 年阿贝尔奖颁奖词。
约翰·纳什的全部主题 · ← 纳什议价解 · 热方程与德乔治–纳什正则性 →
图片来源.