均衡点是这样一个 n 元组：如果其他人的策略保持不变，每个参与者的混合策略都使他自己的收益最大。

— 约翰·纳什，《美国国家科学院院刊》（1950）

1944 年，约翰·冯·诺伊曼和经济学家奥斯卡·摩根斯特恩出版了《博弈论与经济行为》，这部巨著把战略决策变成了数学：纸牌游戏、战争、市场。冯·诺伊曼的重大成果适用于两人零和博弈，即一方之所得就是另一方之所失，比如国际象棋或扑克。但生活中大多数情形并非如此：在贸易协定、谈判或交通中，双方可以一起赢，也可以一起输。

1949 年，一个 21 岁的学生找到了适用于任何博弈、任意多参与者的思想。

思想

在一场博弈中，每个参与者选择一个策略，每个人的结果取决于所有人的选择。纳什均衡是这样一种策略组合：在其他人保持各自策略不变时，没有任何参与者能通过单独改变策略而获益。

用符号表示：若 $s_i^*$ 是参与者 $i$ 的策略，$s_{-i}^*$ 表示其他人的策略，$u_i$ 是参与者 $i$ 的收益，则

$$\boxed{u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\geq u_i(s_i,s_{-i}^*)\quad\text{对每个参与者 }i\text{ 和每个策略 }s_i.}$$

在均衡中，每个人都在给定别人所做的事情的条件下尽力而为。谁也不后悔自己的选择。

广场还是咖啡馆？

安娜和布鲁诺约好下午见面，却忘了说在哪里，而且两人都没带手机。每人可以去广场或咖啡馆。两人都更喜欢咖啡馆，但最重要的是碰面。收益（先安娜、后布鲁诺）如下：

安娜 / 布鲁诺 广场 咖啡馆
广场 (2, 2) (0, 0)
咖啡馆 (0, 0) (3, 3)

逐一检验每种组合。在（咖啡馆，咖啡馆），如果安娜单独改去广场，她的收益从 3 变成 0；布鲁诺也一样。谁都不想改变：这是一个均衡。在（广场，广场），单独改变会让各自从 2 变成 0：这也是一个均衡！而在（广场，咖啡馆），安娜改去咖啡馆会获益，所以不是均衡。

这个博弈有两个均衡，其中一个对两人都更好。纳什的概念指出哪些组合是稳定的，却不说哪一个会发生。实际上，起决定作用的是惯例、习惯、两人常去的地方。

囚徒困境

1950 年，也就是纳什论文的同一年，兰德公司的两位研究员梅里尔·弗勒德和梅尔文·德雷希尔设计了一个博弈来检验这个想法，数学家阿尔伯特·塔克把它讲成两个囚犯的故事。警察抓住两名同伙，把他们分开审讯。每人可以沉默，也可以告发对方。刑期（以年计）如下：

A / B 沉默 告发
沉默 (1, 1) (10, 0)
告发 (0, 10) (5, 5)

站在囚犯 A 的角度想。如果 B 沉默，A 沉默判 1 年，告发判 0 年：告发更好。如果 B 告发，A 沉默判 10 年，告发判 5 年：告发更好。无论 B 怎么选，告发对 A 都更好。 同样的推理对 B 也成立。唯一的纳什均衡是（告发，告发），各判 5 年。

可是如果两人都沉默，各自只判 1 年！这个均衡对两人都不好，而谁也无法单独摆脱它。这正是许多现实情形的困境：军备竞赛、过度捕捞、毁林、污染。每个人按照自身利益行事，却造成了谁都不想要的结果。

练习：在见面的表格中，如果安娜在广场、布鲁诺在咖啡馆，谁有改变的动机？

两人都有。安娜单独改去咖啡馆，收益从 0 变成 3；布鲁诺单独改去广场，收益从 0 变成 2。但如果两人同时改变，他们还是碰不上面。均衡的检验总是每次只看一个参与者的改变。

练习：在囚徒困境中，把独自沉默者的刑期从 10 年改为 3 年。均衡会改变吗？

现在，如果 B 告发，A 沉默判 3 年，告发判 5 年：沉默更好。如果 B 沉默，A 沉默判 1 年，告发判 0 年：告发更好。告发不再总是更好。纯策略均衡变成了（沉默，告发）和（告发，沉默）：每个人都想做与对方相反的事。博弈的结果在很大程度上取决于表中的数字。

来源： John F. Nash，“Equilibrium points in n-person games”，Proceedings of the National Academy of Sciences 36（1950），doi:10.1073/pnas.36.1.48 · William Poundstone，Prisoner’s Dilemma（Doubleday，1992）· 1994 年诺贝尔经济学奖，诺贝尔基金会。

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