1770 年，代数学有一个停滞了两个多世纪的问题。二次方程有求根公式，卡尔达诺在 1545 年也发表了三次和四次方程的解法。到了五次，谁也找不到任何东西。最优秀的数学家都试过，每一种直到四次都管用的方法，到了五次就卡住了。

拉格朗日没有再去尝试一种新方法。他提出了一个不同的问题：旧方法为什么管用？

我打算在这篇论文中考察迄今为止找到的各种方程代数解法，把它们归结为一般原理，并先验地说明这些方法为什么对三次和四次方程有效，而对更高次的方程失效。

— 约瑟夫-路易·拉格朗日，《关于方程代数解法的思考》（1771）

这篇论文有 200 多页，由柏林科学院在 1770 年和 1771 年发表。

把根打乱

核心想法是考察由方程的根构成的表达式，看看当根互换位置时这些表达式会怎样。

先从二次开始。方程 $x^2+bx+c=0$ 的根是 $x_1$ 和 $x_2$，自韦达以来人们就知道

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c.$$

交换 $x_1$ 和 $x_2$，这两个表达式不变。正因为如此，它们可以用系数写出来。而差 $x_1-x_2$ 会变：变成 $x_2-x_1$，即它的相反数。它取两个值。但它的平方又只取一个值，于是可以用系数写出来：

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=b^2-4c.$$

现在只需开方：$x_1-x_2=\pm\sqrt{b^2-4c}$。知道了和与差，根立刻就出来了，结果正是二次方程求根公式。公式里的 $\pm$，恰好就是 $x_1-x_2$ 可能取的两个值的符号。

四次的秘密

拉格朗日对三次和四次方程做了同样的分析。在四次方程中，设根为 $x_1, x_2, x_3, x_4$，费拉里的技巧相当于考察表达式

$$t=x_1x_2+x_3x_4.$$

打乱四个根共有 $4!=24$ 种方式，但 $t$ 只取三个值：

$$\begin{gathered}x_1x_2+x_3x_4,\\ x_1x_3+x_2x_4,\\ x_1x_4+x_2x_3.\end{gathered}$$

这三个值是一个三次方程的根，其系数可由原方程的系数算出。既然三次方程已经会解，就能求出 $t$，进而求出根。四次方程之所以可解，是因为存在一个取值少于四个的根的表达式。

对于五次方程，拉格朗日寻找一个取值很少的五个根的表达式，没有找到。他怀疑这个问题无解，但无法证明。意大利人保罗·鲁菲尼在 1799 年给出了几乎完整的证明，说明不存在一般的求根公式；挪威人尼尔斯·阿贝尔在 1824 年彻底解决了这个问题。几年后，埃瓦里斯特·伽罗瓦把拉格朗日的想法发展成一整套理论，即群论。

定理

在这项分析中，拉格朗日证明了一个今天以他命名的结果：

如果把一个含 $n$ 个字母的表达式按所有 $n!$ 种可能的方式打乱，它所取的不同值的个数整除 $n!$。

例如，四个字母的表达式 $t$ 取 3 个值，3 整除 24。两个字母的表达式 $x_1-x_2$ 取 2 个值，2 整除 $2!=2$。

为什么会整除？不改变表达式的那些交换构成一个群，设其中有 $k$ 种打乱方式。每个不同的值恰好由 $n!$ 种打乱中的 $k$ 种得到。所以

$$n!=k\times(\text{值的个数}),$$

值的个数是 $n!$ 的约数。对 $t$ 而言，不改变它的交换有 8 种，$24=8\times3$。

用 19 世纪才出现的现代语言来说，拉格朗日定理是：在有限群中，子群的元素个数整除群的元素个数。这是每个学代数的学生最先学到的定理之一。拉格朗日没有用“群”这个词，但整个想法都已经在那里了。

练习：打乱四个根时，x₁ + x₂ 取多少个值？

这些值是两个不同根之和：$x_1+x_2$、$x_1+x_3$、$x_1+x_4$、$x_2+x_3$、$x_2+x_4$ 和 $x_3+x_4$。共 6 个，6 整除 24。不改变 $x_1+x_2$ 的交换有 $24\div6=4$ 种：什么都不做、交换 $x_1$ 和 $x_2$、交换 $x_3$ 和 $x_4$，以及两个交换都做。

练习：是否存在一个四个字母的表达式恰好取 5 个值？

不存在。根据拉格朗日定理，值的个数必须整除 $4!=24$，而 24 的约数是 $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12$ 和 $24$。5 不在其中，所以无论多么巧妙，四个字母的表达式都不可能取 5 个值。

资料来源： Joseph-Louis Lagrange，Réflexions sur la résolution algébrique des équations（1770–1771），收于《拉格朗日全集》第 3 卷 · 拉格朗日传记，MacTutor · Israel Kleiner，A History of Abstract Algebra（2007）。

拉格朗日的全部主题 · ← 四个平方数就够了 · 没有无穷小的导数与中值定理 →

图片来源.