几乎每个现实中的决定都是一个带约束的最大或最小值问题。工厂想要最大的利润，但原料有限。一个罐子要装 350 毫升，用的铝要尽量少。单摆想怎么动都行，只要小球一直拴在绳子上。拉格朗日为所有这些问题找到了一个统一的方法。它出现在 1788 年的《分析力学》中，用来处理力学系统的约束；也出现在 1797 年的《解析函数论》中，作为一条一般的计算规则。

围栏

先从一个希腊人就会解的问题开始。用 20 米长的围栏，围成的哪个矩形面积最大？设两边为 $x$ 和 $y$，我们要求

$$f(x,y)=xy\qquad\text{在约束}\qquad g(x,y)=x+y=10$$

下的最大值。这里很容易解出 $y=10-x$，再求 $x(10-x)$ 的最大值。但在许多问题中，约束是一个复杂的方程，什么也解不出来。拉格朗日想要一种永远不需要这样做的方法。

一个新字母

拉格朗日的配方是增加一个新的未知数，今天我们叫它 $\lambda$，即乘数，并要求 $f$ 的导数与 $g$ 的导数成比例：

$$\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}&=\lambda\,\frac{\partial g}{\partial y},\\ g(x,y)&=10.\end{aligned}$$

在围栏问题中，$\frac{\partial f}{\partial x}=y$，$\frac{\partial f}{\partial y}=x$，$g$ 的导数都等于 $1$。方程变成

$$y=\lambda,\qquad x=\lambda,\qquad x+y=10,$$

于是 $x=y=5$。最好的矩形是 5 乘 5 的正方形，面积 25 平方米。不需要解出任何东西：约束作为又一个方程进来，$\lambda$ 作为又一个未知数进来。

为什么管用

下图画出了面积 $xy$ 取固定值 9、16、25 和 36 的曲线，以及约束直线 $x+y=10$。沿着直线走，我们经过面积越来越大的曲线，直到面积为 25 的曲线。之后面积又开始减小。面积为 36 的曲线根本碰不到这条直线。

在最优点，约束直线与面积为 25 的曲线相碰而不相交：它们相切。
在最优点，约束直线与面积为 25 的曲线相碰而不相交：它们相切。Euler’s Eyes 绘图

在最优点，直线与面积最大的曲线相切。如果它们相交，就可以沿直线再走一点，进入面积更大的曲线。相切的曲线方向相同，所以在那里 $f$ 和 $g$ 的导数成比例。乘数 $\lambda$ 就是这个比例的因子。

λ 说明了什么

拉格朗日引入 $\lambda$ 原本只是一个计算手段，但它有含义。在围栏问题中，$\lambda=5$。如果两边之和从 $s=10$ 变成任意值 $s$，最大面积就是边长为 $\frac s2$ 的正方形的面积，即 $\frac{s^2}{4}$。这个面积的变化率是

$$\frac{d}{ds}\left(\frac{s^2}{4}\right)=\frac s2=5=\lambda.$$

乘数告诉你放宽约束能得到多少：两边之和每多 1 米，面积大约多 5 平方米。经济学家把 $\lambda$ 称为影子价格：稀缺资源多一个单位值多少。

在拉格朗日发明这个方法的力学中，乘数也有物理意义。它就是约束力。在单摆中，如果不用角度作坐标，而是用 $x$ 和 $y$ 加上约束 $x^2+y^2=\ell^2$，出现的乘数就与绳子的张力成正比。被拉格朗日的方法消去的力，在需要时又以字母 $\lambda$ 的形式回来了。

练习：直线 x + 2y = 5 上哪一点离原点最近？

我们最小化距离的平方 $f=x^2+y^2$，约束为 $g=x+2y=5$。方程是 $2x=\lambda$、$2y=2\lambda$ 和 $x+2y=5$。由前两个得 $y=2x$，约束给出 $5x=5$。所求点为 $(1,2)$，距离为 $\sqrt5\approx2.24$，$\lambda=2$。

练习：圆柱形罐子做成什么形状最省材料？

设半径为 $r$、高为 $h$，体积 $V=\pi r^2h$ 固定，要使表面积 $S=2\pi r^2+2\pi rh$ 最小。拉格朗日方程是

$$\begin{aligned}4\pi r+2\pi h&=\lambda\cdot2\pi rh,\\ 2\pi r&=\lambda\cdot\pi r^2.\end{aligned}$$

由第二个得 $\lambda=\frac2r$。代入第一个，$4\pi r+2\pi h=4\pi h$，于是 $h=2r$：高应等于直径。罐头往往接近这个比例。饮料罐更高一些，因为罐盖比罐壁更厚、更贵，计算就变了。

资料来源： Joseph-Louis Lagrange，Méchanique analitique（1788）和 Théorie des fonctions analytiques（1797）· 拉格朗日传记，MacTutor · Harold W. Kuhn 与 Albert W. Tucker，“Nonlinear Programming”（1951）。

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