18 世纪末，微积分用起来很好，却没有人能说清楚它为什么好用。莱布尼茨的 $dx$ 是“无穷小”的量：有时把它们当作不等于零，好拿来做除数；紧接着又把它们当作零，好把它们略去。贝克莱主教在 1734 年嘲笑过这一点，称它们为“消逝的量的幽灵”。

拉格朗日为此感到不安。1797 年，他出版了一本书，书的副标题本身就是一整套纲领：

包含微分学的原理，摆脱了一切关于无穷小、消逝量、极限和流数的考虑，并归结为有限量的代数分析。

— 约瑟夫-路易·拉格朗日，《解析函数论》（1797）

导出的函数

拉格朗日的想法是：每个合理的函数都可以展开成幂级数。给变量 $x$ 一个增量 $i$，那么

$$f(x+i)=f(x)+p\,i+q\,i^2+r\,i^3+\cdots,$$

其中 $p, q, r, \ldots$ 是 $x$ 的新函数。拉格朗日把其中第一个，即 $i$ 的系数，定义为 $f$ 的导出函数，并用一撇来写：$f'(x)$。$f'$ 的导数是 $f''$，依此类推。

看看这对 $f(x)=x^3$ 是怎么用的。把立方展开，

$$(x+i)^3=x^3+3x^2\,i+3x\,i^2+i^3.$$

$i$ 的系数是 $3x^2$，所以 $f'(x)=3x^2$。不需要用一个后来会消失的东西做除数，也不需要略去任何东西：只要读出一个系数就行。这正是拉格朗日想要的。

计划在哪里失败了

这个计划有一个缺陷，柯西在 1823 年指出了它：并不是每个函数都等于它的幂级数。函数

$$f(x)=e^{-1/x^2}\ \ (x\neq0),\qquad f(0)=0$$

在零附近平坦到它所有的导数在那里都等于零。它在零处的幂级数是 $0+0\,i+0\,i^2+\cdots=0$，但函数本身并不是零。像拉格朗日那样从级数出发是不够的。柯西用极限的思想重建了微积分，今天教的就是他的版本。

不过，拉格朗日在途中找到了两件工具，它们在他的计划失败后保留了下来。

中值定理

第一件是中值定理，他需要用它来控制自己的级数。用今天的形式来说：如果 $f$ 在从 $a$ 到 $b$ 的区间上可导，那么两者之间至少有一点 $c$，使得

$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

右边是连接图像上两点 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 的直线的斜率。定理说，在途中某处，切线与这条直线平行。

用开车的话来说：如果你一个半小时开了 120 千米，平均速度就是每小时 80 千米。定理保证，在某一时刻，速度表恰好指在 80。你可能有时慢、有时快，但从慢到快，必然经过平均值。这就是为什么区间测速——测量汽车经过道路上两点之间的时间——可以在从未看到汽车超速的情况下开出罚单。

近似的误差

第二件工具是拉格朗日余项。用函数级数的前几项代替函数时，会产生误差。拉格朗日证明，这个误差与下一项形式相同，只是导数要在 $x$ 与 $x+h$ 之间某个未知点 $c$ 处取值：

$$\begin{aligned}f(x+h)={}&f(x)+f'(x)\,h+\frac{f''(x)}{2}h^2+\cdots\\&+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^n\\&+\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}h^{n+1}}_{\text{余项}}.\end{aligned}$$

我们不知道 $c$ 在哪里，但往往知道导数最大有多大，这就足以保证近似值有几位小数是准确的。中值定理就是这个公式 $n=0$ 的情形。

练习：求 f(x) = x² 在 0 到 2 之间满足中值定理的点 c

连接 $(0,0)$ 和 $(2,4)$ 的直线斜率是 $\frac{4-0}{2-0}=2$。导数是 $f'(x)=2x$，由 $2c=2$ 得 $c=1$。在点 $(1,1)$，抛物线的切线与连接两端的直线平行。

练习：近似 e ≈ 1 + 1 + 1/2 + 1/6 的误差最多有多大？

这是 $e^x$ 在 $0$ 处的级数，取 $x=1$，项数到 $h^3$。拉格朗日余项是 $\frac{e^c}{4!}\cdot1^4$，$c$ 在 $0$ 和 $1$ 之间。由于 $e^c

资料来源： Joseph-Louis Lagrange，Théorie des fonctions analytiques（1797），收于《拉格朗日全集》第 9 卷 · Judith V. Grabiner，The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus（1981）· Earliest Uses of Symbols of Calculus，Jeff Miller。

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