牛顿和莱布尼茨的微积分会找曲线的最高点：就在导数为零的地方。但还有另一类问题。两点之间最短的路是什么？滑梯做成什么形状，小球滑下来最快？一根挂着的链子是什么曲线？在这些问题里，答案不是一个数，而是一整条曲线，要从无穷多条可能的曲线中挑出来。

最速降线

1696 年，约翰·伯努利向全欧洲的数学家发出挑战。给定两点 $A$ 和 $B$，$B$ 比 $A$ 低，但不在 $A$ 的正下方。一个小球只靠自身重量、无摩擦地滑行，沿哪条曲线从 $A$ 到 $B$ 用时最短？这个问题的名字来自希腊语：brachistos 意为最短，chronos 意为时间。

直线是最短的路，却不是最快的。一开始陡一点往下冲，早点获得速度，即使路程变长也划算。约翰、他的哥哥雅各布、莱布尼茨、洛必达，还有一位大家都认出是牛顿的匿名作者回应了挑战。答案是摆线，即滚动的轮子上一点所画出的曲线。

每个解法都是一个各不相同的巧妙技巧。例如约翰把小球想象成一束光，穿过密度越来越小的一层层玻璃，用的是折射定律。还缺一个一般的方法。

欧拉的方法

欧拉花了多年寻找这种方法，并在 1744 年把它发表在一本名为《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》的书中。思路是几何的：用一个边数很多的多边形代替曲线，只移动其中一个顶点，看看要优化的量如何变化。这个方法管用，但计算冗长，而且每个问题都需要单独画一幅图。

1755 年的信

1755 年 8 月 12 日，欧拉收到一封来自都灵、一位 19 岁无名青年的信。拉格朗日提出了另一种做法：不去移动一个顶点，而是一次改变整条曲线。如果 $y(x)$ 是要找的曲线，他考虑一条邻近的曲线

$$y(x)+\delta y(x),$$

其中 $\delta y$ 是一个小扰动，在两端为零，因为端点 $A$ 和 $B$ 是固定的。$\delta$ 是希腊字母的 d，这是个新符号：它表示函数的变化，正如莱布尼茨的 $d$ 表示变量的变化。

这类问题中，许多都要求让一个积分取最小或最大值：

$$J=\int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$

其中 $F$ 依赖于点的位置、曲线的高度和它的斜率。例如，曲线的长度是

$$J=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx.$$

方程

拉格朗日的计算只需三步。第一步，积分的变化等于 $y$ 和 $y'$ 的变化各自引起的变化之和：

$$\delta J=\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial y}\,\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\,\delta y'\right)dx.$$

第二步，由于 $\delta y'$ 是 $\delta y$ 的导数，分部积分可以把导数转移到另一个因子上。边界项消失了，因为 $\delta y$ 在两端为零：

$$\delta J=\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\delta y\,dx.$$

第三步，如果这条曲线是最好的，那么对任何扰动 $\delta y$，$\delta J$ 都必须为零。这只有在括号里的式子处处为零时才可能：

$$\boxed{\ \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}=0\ }$$

这就是欧拉-拉格朗日方程。欧拉已经通过多边形的路子得到了它；拉格朗日则不画任何图，用一种对任何 $F$ 都适用的计算得到了它。从所有曲线中找出一条的问题，变成了解一个微分方程的问题。

最短的路

我们来检验一下。对于长度，$F=\sqrt{1+y'^2}$ 不依赖于 $y$，所以 $\frac{\partial F}{\partial y}=0$，方程告诉我们

$$\begin{aligned}&\frac{d}{dx}\left(\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}\right)=0\\ &\Longrightarrow\quad \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=\text{常数}.\end{aligned}$$

如果这个分式是常数，$y'$ 也是常数：斜率从不改变，曲线是一条直线。这大家都知道，但现在它成了一个由计算得出的定理。用同样的方法，最速降线问题得到摆线，悬挂的链子得到悬链线，而周长固定、围出最大面积的曲线得到圆。

就我所见，您对等周问题的解析解法包含了这一领域中人们所能期望的一切。这一理论，自最初的尝试以来几乎只有我一个人在研究，如今经您之手达到了最完美的境地，我感到无比高兴。

— 莱昂哈德·欧拉，致拉格朗日的信（1759 年 10 月 2 日）

1756 年，欧拉向柏林科学院介绍了拉格朗日的方法，并为这个新分支命名：calculus variationum，即变分法。当时已是欧洲最著名数学家的欧拉，把一部分荣誉让给了这位无名青年。拉格朗日始终没有忘记。

练习：哪条曲线连接 (0, 0) 和 (1, 2)，并使 y′² 的积分最小？

取 $F=y'^2$，则 $\frac{\partial F}{\partial y}=0$，$\frac{\partial F}{\partial y'}=2y'$。方程给出 $\frac{d}{dx}(2y')=0$，即 $y''=0$：曲线是直线 $y=cx+d$。由端点得 $d=0$，$c=2$，答案是 $y=2x$。最小值为 $\int_0^1 2^2\,dx=4$。

练习：F = y′² − y² 会得出什么曲线？

这时 $\frac{\partial F}{\partial y}=-2y$，$\frac{\partial F}{\partial y'}=2y'$。方程变成 $-2y-2y''=0$，即

$$y''=-y.$$

解为 $y=A\cos x+B\sin x$。这正是弹簧的方程。这不是巧合：$y'^2$ 扮演运动能量的角色，$y^2$ 扮演弹簧能量的角色。这就是下一篇的出发点。

资料来源： 拉格朗日传记，MacTutor · Herman H. Goldstine，A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century（1980）· Craig Fraser，“J. L. Lagrange’s Early Contributions to the Principles and Methods of Mechanics”，Archive for History of Exact Sciences（1983）。

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