在任意力的任何平衡中，无论这些力以何种方式施加，正能量之和都等于负能量之和。

— 约翰·伯努利致皮埃尔·瓦里尼翁的信（1717 年 1 月 26 日）

从阿基米德起，每一种简单机械都有自己的一套解释。杠杆遵循力臂定律；斜面遵循斯蒂文发明的力的分解；滑轮靠关于绳子的推理；螺旋又是另一回事。1717 年，约翰·伯努利在给法国朋友皮埃尔·瓦里尼翁的信中证明，这些定律全都是 同一个原理 的特例。

想法：只动一点点

设想一台处于平衡的静止机械。现在设想你在思想中让它移动一段极小的距离，同时遵守它的约束：杠杆绕支点转动，绳子不伸长，木块不离开斜面。这种想象中的位移叫作 虚位移，因为它并不真的发生。

在每个受力 $F_i$ 的点上，该点沿力的方向移动了一点点 $\delta s_i$。乘积 $F_i\,\delta s_i$ 就是这个力的 虚功。约翰称之为 能量，这是这个词第一次以接近今天的含义出现。原理说：

$$\boxed{\ \text{平衡时，}\quad\sum_i F_i\,\delta s_i=0\ \text{ 对一切虚位移成立。}\ }$$

帮助运动的力所做的功，等于阻碍运动的力所做的功。静止的机械不能无中生有地产生功。

阿基米德的杠杆

一根杠杆上，重物 $P_1$ 和 $P_2$ 分别距支点 $a$ 和 $b$。让杠杆转过一个极小的角 $\delta\theta$。$P_1$ 一侧下降 $a\,\delta\theta$，$P_2$ 一侧上升 $b\,\delta\theta$。下降的重物做正功，上升的做负功：

$$P_1\,a\,\delta\theta-P_2\,b\,\delta\theta=0\quad\Longrightarrow\quad P_1\,a=P_2\,b.$$

这就是阿基米德定律，不需要任何相似三角形的图形：$\delta\theta$ 直接约掉了。

滑轮

在一组滑轮中，重物 $W$ 由 $n$ 段绳子吊着，一个人用力 $F$ 拉绳子的自由端。如果重物上升 $\delta h$，$n$ 段绳子每段都缩短 $\delta h$，这些绳子全都从自由端出来，自由端移动 $n\,\delta h$。所以

$$F\cdot n\,\delta h-W\,\delta h=0\quad\Longrightarrow\quad F=\frac Wn.$$

用四段绳子，只需 25 千克的力就能提起 100 千克。但要在距离上付出代价：重物上升 1 米，就得拉动 4 米绳子。

斜面

一个重 $W$ 的木块放在倾角为 $\alpha$ 的斜面上，由平行于斜面的力 $F$ 托住。把木块沿斜面向上推 $\delta d$，它在竖直方向上升 $\delta d\sin\alpha$：

$$F\,\delta d-W\,\delta d\sin\alpha=0\quad\Longrightarrow\quad F=W\sin\alpha.$$

在 30° 的斜面上，只需一半的重量就能托住木块。斯蒂文在 1586 年用一个巧妙的推理得到了同样的结果，推理中用的是一串搭在两个斜面上的珠链。约翰一行就做到了。

练习：一个螺旋千斤顶的螺距为 5 毫米（每转一圈升高 5 毫米），手柄长 25 厘米。手柄上要用多大的力才能顶起 1 000 千克？

转一整圈，手走过 $2\pi\cdot0.25\approx1.571$ 米，汽车升高 $0.005$ 米。由原理，

$$F\cdot1.571=1\,000\cdot0.005\quad\Longrightarrow\quad F\approx3.2\ \text{千克力}.$$

略多于 3 千克的力就能顶起一吨。实际上螺纹的摩擦需要大得多的力，但这个数量级说明了千斤顶为什么管用。

练习：一个井上的辘轳，轴半径 10 厘米，摇柄半径 40 厘米。要用多大的力才能吊住一个 20 千克的水桶？

让摇柄转过角 $\delta\theta$。手移动 $0.40\,\delta\theta$，水桶上升 $0.10\,\delta\theta$。于是 $F\cdot0.40=20\cdot0.10$，$F=5$ 千克力。这是一根乔装的杠杆：两半径之比 4 就是机械利益。

来源： Pierre Varignon，Nouvelle mécanique ou statique（巴黎，1725），第二卷，收有约翰的这封信 · René Dugas，A History of Mechanics（Dover，1988），第 2 章 · 约翰·伯努利传记，MacTutor。

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