莱布尼茨的微积分会对指数固定的幂求导，比如 $x^3$ 或 $x^{1/2}$：$x^n$ 的导数是 $nx^{n-1}$。但在 1694 年给莱布尼茨的一封信里，约翰·伯努利摆出了一个怪东西：表达式

$$y=x^x,$$

其中底数 和 指数同时变化。$x^n$ 的法则用不上，因为指数不固定；$a^x$ 的法则也用不上，因为底数不固定。1697 年，约翰在《学者学报》上发表了"指数演算原理"，给出了处理这类幂的方法。他把它们称为 游动的（percurrent），因为指数在各个值之间游动。

对数的诀窍

思路是把幂变成我们会求导的乘积。设 $x>0$，两边取自然对数：

$$\ln y=x\ln x.$$

现在两边对 $x$ 求导。左边由链式法则得到 $\dfrac{y'}y$。右边由乘积法则得到 $1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1$。于是 $\dfrac{y'}{y}=\ln x+1$，

$$\boxed{\frac{d}{dx}\,x^x=x^x\,(\ln x+1).}$$

这种对函数的对数而不是函数本身求导的技巧，后来被称为 对数求导法。它对任何 $f>0$ 的 $y=f(x)^{g(x)}$ 都适用：

$$\ln y=g\ln f\quad\Longrightarrow\quad y'=f^{\,g}\left(g'\ln f+g\,\frac{f'}f\right).$$

括号里的两项分别记录了两种变化：指数的变化 $g'\ln f$，和底数的变化 $g\frac{f'}f$。如果底数固定，只剩第一项，回到 $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$；如果指数固定，只剩第二项，回到 $nx^{n-1}$。

x 的 x 次幂在哪里最小

由于 $x^x$ 总是正的，导数的符号就是 $\ln x+1$ 的符号。当 $x<\frac1e$ 时为负，当 $x>\frac1e$ 时为正。函数一直下降到 $x=\frac1e\approx0.368$，然后上升。最小值是

$$\left(\frac1e\right)^{1/e}=e^{-1/e}\approx0.692.$$

也就是说：在所有正数中，没有哪个数的自身次幂小于 $0.692$。例如 $0.5^{0.5}=\sqrt{0.5}\approx0.707$，$0.3^{0.3}\approx0.697$，都略高一点。

在零附近呢？

当 $x$ 趋近零时，$x^x$ 会怎样？底数趋于零，往下拉；指数趋于零，往 1 拉。谁赢？写成 $x^x=e^{x\ln x}$，用 洛必达法则 计算指数：

$$\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0.$$

所以 $x^x\to e^0=1$。指数赢了。用计算器验证：$0.1^{0.1}\approx0.794$，$0.01^{0.01}\approx0.955$，$0.001^{0.001}\approx0.993$。

练习：对 x > −1，求 (1 + x) 的 x 次幂的导数。

取 $f=1+x$，$g=x$，有 $g'=1$，$f'=1$，所以

$$\frac{d}{dx}(1+x)^x=(1+x)^x\left[\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}\right].$$

在 $x=1$ 处，函数值为 $2$，导数为 $2\left(\ln2+\frac12\right)\approx2.386$。

练习：曲线 y = x 的 x 次幂在 x = 1 处的斜率是多少？在 x = e 处呢？

在 $x=1$：$1^1(\ln1+1)=1$。$(1,1)$ 处切线的斜率为 1，与直线 $y=x$ 一样。在 $x=e$：$e^e(\ln e+1)=2e^e\approx30.3$。这个函数增长得非常快：$e^e\approx15.15$，到 $x=4$ 时已是 $4^4=256$。

来源： Johann Bernoulli，“Principia calculi exponentialium seu percurrentium”，Acta Eruditorum（1697）· Florian Cajori，“History of the exponential and logarithmic concepts”，The American Mathematical Monthly 20（1913）· 约翰·伯努利传记，MacTutor。

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