Euler's Eyes
2026-10-14
平均曲率：曲面弯曲了多少
为了写出振动板的方程，索菲·热尔曼必须回答一个看似简单的问题：曲面在某一点弯曲了多少？她的答案——平均曲率——至今仍被用来研究肥皂泡、细胞膜和飞机蒙皮。
曲线的曲率
先从一条线开始。直线不弯曲，我们说它的曲率为零。圆在每一点弯曲的程度都一样，而且圆越小，弯得越厉害。所以半径为 $R$ 的圆的曲率定义为
$$\kappa=\frac1R.$$半径 1 厘米的圆曲率为 1；半径 1 米的圆，曲率为每厘米 $0.01$。对任意曲线，在每一点取最贴合它的圆，即密切圆，曲率就是这个圆半径的倒数。
曲面有许多曲率
到了曲面上，事情就复杂了。想象罐子侧面上的一点。如果沿着罐子竖直地走，路径是直的：曲率为零。如果绕着罐子走，路径是一个半径为 $r$ 的圆：曲率为 $\frac1r$。在中间的方向上，取中间的值。
1760 年，欧拉证明这种情况总是有规律地发生。在每一点都有一个曲率最大的方向 $\kappa_1$ 和一个曲率最小的方向 $\kappa_2$，两者互相垂直。这就是主曲率。在与第一个方向成 $\theta$ 角的方向上，曲率为
$$\kappa(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta.$$索菲·热尔曼的想法
索菲·热尔曼需要一个数来表示板抵抗弯曲的程度。她的假设是把两个主曲率相加。今天我们用这个和的一半，称为平均曲率：
$$H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}.$$这个名字是准确的。如果对所有方向求 $\kappa(\theta)$ 的平均值，由于 $\cos^2\theta$ 和 $\sin^2\theta$ 在一整圈上的平均值都是 $\frac12$，结果恰好是 $\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$。平均曲率就是所有方向上曲率的平均值。
- 半径为 $r$ 的球面：两个曲率都是 $\frac1r$，$H=\frac1r$。
- 半径为 $r$ 的圆柱面：一个曲率是 $\frac1r$，另一个是 $0$，$H=\frac1{2r}$。
- 马鞍面：曲面在一个方向上升，在另一个方向下降，两个曲率符号相反，在中心点 $H=0$。
热尔曼与高斯：和与积
1827 年，索菲的通信者高斯研究了同样两个曲率的另一种组合：它们的积 $K=\kappa_1\kappa_2$，今天称为高斯曲率。这两个数说的是不同的事。
高斯的积衡量的是曲面在不拉伸地弯曲时保持不变的东西。圆柱面的 $K=0$，和一张纸一样，它确实能用一张纸卷成而不起皱。球面的 $K=\frac1{r^2}$，所以没有一张世界地图是完美的。
热尔曼的和衡量的是耗费能量的东西：曲面弯曲了多少，而不管它能不能被展开。所以它出现在弹性理论和薄膜中。
肥皂泡
1805 年，托马斯·杨和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯发现，有张力的曲面内部的压强比外部大，大出的量与平均曲率成正比。肥皂泡是圆的，因为对于给定的体积，球面是各点平均曲率都相同的形状。
而一张挂在铁丝上、两侧都是空气的肥皂膜，两面的压强相同。所以它在每一点的平均曲率都是零：在一个方向上向一边弯，在垂直的方向上向另一边弯，就像马鞍。比利时物理学家约瑟夫·普拉托在 1873 年用铁丝和肥皂研究了这些极小曲面，它们成了几何学中最丰富的课题之一。
练习：计算半径为 2 的圆柱面和半径为 2 的球面的 H 和 K
圆柱面：$\kappa_1=\frac12$，$\kappa_2=0$，所以 $H=\frac14$，$K=0$。球面：$\kappa_1=\kappa_2=\frac12$，所以 $H=\frac12$，$K=\frac14$。半径相同时，球面的平均曲率是圆柱面的两倍。
练习：半径 1 厘米的肥皂泡内部比外部多出多少压强？
肥皂膜有内外两个面，每个面贡献 $\frac{2\gamma}{R}$，其中 $\gamma\approx0.025$ N/m 是肥皂水的表面张力。所以
$$\Delta p=\frac{4\gamma}{R}=\frac{4\cdot0.025}{0.01}=10\ \text{Pa}.$$这大约是大气压的万分之一。泡越小，压强越大：所以两个泡碰在一起时，小泡会往大泡里推。
资料来源： Louis L. Bucciarelli 与 Nancy Dworsky，Sophie Germain: An Essay in the History of the Theory of Elasticity（1980）· Leonhard Euler，“Recherches sur la courbure des surfaces”（1760）· 索菲·热尔曼传记，MacTutor。
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