Elasticidade

A vida de Sophie Germain

Linha do tempo 1776Nasce em 1º de abril, em Paris, filha de um rico comerciante de seda. 1789Aos 13 anos, durante a Revolução, lê a história da morte de Arquimedes e decide estudar matemática. 1794É fundada a Escola Politécnica, que não aceita mulheres. Sophie consegue as apostilas dos cursos e envia um trabalho a Lagrange com o nome de Monsieur Le Blanc. 1801Gauss publica as Investigações aritméticas. 1804Começa a escrever a Gauss, também como Monsieur Le Blanc. 1806Tropas francesas ocupam Braunschweig. Sophie pede a um general amigo que proteja Gauss, que assim descobre quem ela é. 1809A Academia de Ciências anuncia um prêmio para a teoria matemática das placas vibrantes. 1816Na terceira tentativa, ganha o prêmio. É a primeira mulher a receber um prêmio da Academia. 1823Legendre divulga o teorema dela sobre o último teorema de Fermat. 1829Descobre que tem câncer de mama. 1831Morre em 27 de junho, em Paris, aos 55 anos. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1776–1794 Rua Saint-DenisCresce na casa do pai, um rico comerciante de seda. Aos 13 anos, durante a Revolução, decide estudar matemática. 1794 Escola PolitécnicaA escola não aceita mulheres. Ela consegue as apostilas e manda um trabalho a Lagrange como Monsieur Le Blanc. 1804–1806 BraunschweigEscreve a Gauss sobre teoria dos números. Em 1806, com a cidade ocupada, pede a um general francês que proteja Gauss, que assim descobre quem ela é. 1816 Instituto de FrançaNa terceira tentativa, ganha o prêmio da Academia sobre as placas vibrantes. É a primeira mulher premiada pela Academia. 1831 Cemitério do Père-LachaiseMorre em 27 de junho, aos 55 anos. Diz-se que a certidão de óbito a registrou como rentière, pessoa que vive de rendas, e não como matemática. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. A Paris de Sophie Germain, com uma linha para as cartas enviadas a Gauss, em Braunschweig. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

As cartas de Monsieur Le Blanc: aritmética dos restos

Quando Sophie Germain escreveu a Gauss em 1804, os dois falavam uma língua que tinha acabado de nascer. Três anos antes, nas Investigações aritméticas, Gauss tinha introduzido um sinal novo, $\equiv$, e uma maneira nova de pensar os números inteiros: não pelo que eles são, mas pelo resto que deixam numa divisão. Tudo o que Sophie fez depois sobre Fermat foi escrito nessa língua. Vale a pena aprendê-la. A aritmética do relógio Se agora são 9 horas, que horas serão daqui a 5 horas? Ninguém responde 14 num relógio de ponteiros: responde 2. O relógio só guarda o resto da divisão por 12. Gauss escreveu isso assim:

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O teorema de Sophie Germain e o último teorema de Fermat

Por volta de 1637, Pierre de Fermat anotou na margem de um livro que a equação $$x^n+y^n=z^n$$não tem soluções em números inteiros positivos quando $n$ é maior que 2, e que tinha uma demonstração maravilhosa que não cabia na margem. É o último teorema de Fermat. Ninguém nunca encontrou a demonstração dele, e o problema só foi resolvido por Andrew Wiles em 1994. Até 1800, a situação era modesta. Fermat tinha provado o caso $n=4$, Euler o caso $n=3$. Bastava estudar os expoentes $n=p$ primos, mas cada primo exigia um truque próprio, e ninguém conseguia passar do 3. Sophie Germain foi a primeira pessoa a provar algo para infinitos expoentes de uma só vez.

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Os primos de Sophie Germain e a criptografia

Um número primo $p$ é um primo de Sophie Germain quando $2p+1$ também é primo. O $5$ é, porque $11$ é primo. O $7$ não é, porque $15=3\cdot5$. A lista começa assim: $$2,\ 3,\ 5,\ 11,\ 23,\ 29,\ 41,\ 53,\ 83,\ 89,\ 113,\ 131,\ldots$$O primo $2p+1$ que acompanha cada um é chamado de primo seguro: $5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, \ldots$ Sophie Germain precisou deles para o seu teorema sobre Fermat. Dois séculos depois, eles protegem as conexões da internet.

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A identidade de Sophie Germain: fatorar o que parece primo

Há números que parecem primos e não são. O $629$, por exemplo, não é par, não termina em 5 e não é múltiplo de 3. Mas $629=5^4+4$, e essa forma o entrega: ele se fatora por uma identidade que leva o nome de Sophie Germain. A identidade Para quaisquer números $a$ e $b$, $$\begin{aligned}a^4+4b^4={}&\left(a^2+2b^2+2ab\right)\\&\times\left(a^2+2b^2-2ab\right).\end{aligned}$$O truque para descobri-la é completar o quadrado, como na fórmula de Bhaskara. A soma $a^4+4b^4$ é quase o quadrado de $a^2+2b^2$; falta só o termo do meio, $4a^2b^2$. Somando e subtraindo esse termo,

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As figuras de Chladni e o prêmio das placas vibrantes

Espalhe areia sobre uma placa de metal presa pelo centro e passe um arco de violino na borda. A placa começa a cantar, e a areia, como se tivesse vontade própria, foge de alguns lugares e se junta em outros, desenhando linhas, cruzes, estrelas e curvas simétricas. Mude a nota, e o desenho muda. São as figuras de Chladni. Como se excita uma placa de Chladni: a placa é presa pelo centro e o arco de violino passa pela borda. Gravura de um livro de 1879.Autor desconhecido, 1879 · Wikimedia Commons · domínio público O som que se vê O alemão Ernst Chladni publicou essas figuras em 1787, num livro chamado Descobertas sobre a teoria do som. A explicação qualitativa é simples. Quando a placa vibra, quase todos os seus pontos sobem e descem, e jogam a areia para longe. Mas algumas linhas ficam paradas: são as linhas nodais. A areia escorrega para lá e fica. O desenho é um mapa dos lugares onde a placa não se mexe.

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A curvatura média: de quanto uma superfície se dobra

Para escrever a equação das placas vibrantes, Sophie Germain precisou responder a uma pergunta que parece simples: quanto uma superfície está dobrada num ponto? A resposta dela, a curvatura média, é usada até hoje para estudar bolhas de sabão, membranas de células e cascas de avião. A curvatura de uma curva Comecemos por uma linha. Uma reta não se dobra, e dizemos que a sua curvatura é zero. Um círculo se dobra igualmente em todos os pontos, e quanto menor ele é, mais se dobra. Por isso a curvatura de um círculo de raio $R$ é definida como

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O legado de Sophie Germain

A álgebra não passa de uma geometria escrita; a geometria não passa de uma álgebra desenhada. — Sophie Germain, Considerações gerais sobre o estado das ciências e das letras (1833) Sophie Germain trabalhou quase sempre sozinha, sem diploma, sem cargo e sem alunos. Não teve acesso às aulas, às revistas nem às discussões em que os matemáticos da época aprendiam uns com os outros, e isso aparece nos seus trabalhos: ideias muito originais, às vezes com lacunas que um professor teria apontado a tempo. Mesmo assim, deixou o seu nome em dois campos que quase não se tocam, a teoria dos números e a teoria da elasticidade.

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Créditos das imagens de Sophie Germain

Imagens históricas e fotos Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons; o retrato foi apenas convertido de PNG para JPEG. Retrato de Sophie Germain, desenho de Berthe Chégaray de uma medalha em sua memória, publicado em 1896: página de origem · domínio público. Figuras das Pesquisas sobre a teoria das superfícies elásticas, Sophie Germain, 1821, exemplar da ETH-Bibliothek Zürich: página de origem · domínio público. Placa de Chladni excitada por um arco, gravura de 1879: página de origem · domínio público. Túmulo no cemitério do Père-Lachaise, foto de Pierre-Yves Beaudouin, 2015: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A capa, as linhas nodais de uma placa quadrada e o desenho das curvaturas da esfera, do cilindro e da sela são ilustrações originais. As linhas nodais foram calculadas com o modelo simplificado descrito no texto, e não reproduzem fotos de placas reais.

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