费马大定理：从页边到怀尔斯的证明

人人都知道勾股定理：$3^2+4^2=5^2$。这样的整数三元组有无穷多个，比如 $5,12,13$ 和 $8,15,17$。

那么立方呢？是否存在正整数满足 $a^3+b^3=c^3$？四次方呢？

页边的批注

大约 1637 年，费马在读丢番图关于把一个平方数分成两个平方数之和的问题时，在书的页边用拉丁文写道：

不可能把一个立方数分成两个立方数之和，或把一个四次方数分成两个四次方数之和，一般地，不可能把任何高于二次的幂分成两个同次幂之和。我已找到一个真正绝妙的证明，可惜这里的页边太窄，写不下。
— 皮埃尔·德·费马，约 1637 年

用今天的语言说：当 $n>2$ 时，不存在正整数 $a$、$b$、$c$ 使得

$$a^n+b^n=c^n.$$

这条批注直到 1670 年费马的儿子出版附有父亲批注的书时才公之于众。那个证明从未被找到。页边上的其他所有论断后来都被证明或否定了，只有这一条坚持到最后，所以被称为“最后的定理”（在中文里通称费马大定理）。

费马本人用无穷递降法证明了 $n=4$ 的情形。其他情形一个接一个地被攻克：

但没有人能给出对所有指数都成立的证明。

有一部分路我们在这里就能证明。如果 $n=6$ 时有解，那么

$$a^6+b^6=c^6\quad\Longrightarrow\quad(a^2)^3+(b^2)^3=(c^2)^3,$$

于是 $n=3$ 也有解。一般地，如果 $n$ 有奇质因数 $q$，那么 $n$ 的解就变成 $q$ 的解。如果 $n$ 没有奇质因数，它就是大于 2 的 2 的幂，因而是 4 的倍数，它的解就变成 $n=4$ 的解。

结论：只需证明 $n=4$（费马已完成）和所有奇质数的情形。这一化归很容易；难的恰恰是无穷多个质数。

借助计算机，人们验证了指数直到数百万都没有解。但这不是证明：定理说的是所有整数，任何搜索，无论多大，都无法覆盖全部。在数学中，一百万个例子也代替不了一个证明。

1963 年，一个名叫安德鲁·怀尔斯的十岁英国男孩在剑桥公共图书馆的一本书里读到了这个问题。他深受震撼：一个他能看懂的命题，三个世纪以来竟没有人能证明。他下定决心，总有一天要解决它。

怀尔斯成了数学家，多年里把这个梦想搁在一边。1986 年，肯·里贝特证明了：费马大定理可以由另一个关于椭圆曲线和模形式的猜想推出，而这正是怀尔斯非常熟悉的领域。他放下一切，在家中的阁楼里秘密工作了七年，几乎没告诉任何人。

1993 年 6 月，他在剑桥的一系列讲座中宣布了证明，全场起立鼓掌。但在审稿中，专家们发现了一个漏洞。怀尔斯花了一年多试图修补，在昔日学生理查德·泰勒的帮助下，几乎要放弃时，终于在 1994 年 9 月找到了出路。完整的证明长达一百多页，于 1995 年发表。

2016 年，怀尔斯获得阿贝尔奖，这是数学界的最高荣誉之一。

几乎可以肯定没有。怀尔斯的证明用到了费马不可能知道的 20 世纪数学。最可能的情况是，费马找到了一个只对某些指数有效的证明（也许是推广了 $n=4$ 的情形），后来发现了错误。事实上，在后来的信中，他把 $n=3$ 和 $n=4$ 的情形作为挑战提出，却再也没有提到一般情形。

练习：指数为 6 的解会给出哪个质数指数的解？

由于 $6=2\cdot3$，写成 $(a^2)^3+(b^2)^3=(c^2)^3$，得到质数指数 3 的解。

练习：指数为 8 的解呢？

8 没有奇质因数。由于 $8=4\cdot2$：$(a^2)^4+(b^2)^4=(c^2)^4$，这是 $n=4$ 的解，而费马已证明它不可能存在。

资料来源： 费马传记，MacTutor · 安德鲁·怀尔斯传记，MacTutor · 2016 年阿贝尔奖。