费马数：一个猜想和一个反例

数学家们一直梦想找到一个只产生质数的公式。1640 年，费马以为自己找到了。

连续五个质数

费马研究了如下形式的数：

$$F_n=2^{2^n}+1.$$

指数是 2 的幂：$1,2,4,8,16,\ldots$ 算出前几个：

$$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$

五个都是质数。用手检验 $65\,537$（试除到它的平方根）已经相当费力了。费马写信给弗雷尼克·德贝西说，他确信所有这种形式的数都是质数，尽管他承认自己没有证明。

下一个数是

$$F_5=2^{32}+1=4\,294\,967\,297.$$

这是一个十位数。要检验它是不是质数，需要在 17 世纪用手试除到大约 6.5 万。费马没有去算。

将近一百年后的 1732 年，年轻的莱昂哈德·欧拉算了。他发现：

$$4\,294\,967\,297=641\times6\,700\,417.$$

费马的猜想错了。要推翻一个关于所有数的命题，一个反例就够了。

欧拉并不是随便试除。他知道 $F_5$ 的因数必须具有特殊形式 $64k+1$，这大大缩小了搜索范围。这种形式的第五个质数候选就是 641。

还有一种不做除法就能验证整除的巧妙方法。注意 641 可以写成两种形式：

$$641=5\cdot2^7+1=5^4+2^4.$$

模 641 时，第一种形式说明 $5\cdot2^7$ 余 $-1$。两边四次方，$5^4\cdot2^{28}$ 余 $1$。第二种形式说明 $5^4$ 与 $-2^4$ 余数相同。互相替换：

$$-2^4\cdot2^{28}=-2^{32}\equiv1\pmod{641}.$$

所以 $2^{32}+1$ 余 0：它是 641 的倍数。完整的计算见欧拉专题。

自希腊时代起，人们就知道如何用尺规作出正三角形和正五边形。两千年来，没有人能作出另一个边数为质数的正多边形。

1796 年，18 岁的卡尔·弗里德里希·高斯证明了正十七边形可以用尺规作出。他还更进一步：边数为质数的正多边形能用尺规作出，当且仅当这个质数是费马质数。请看：$3=F_0$，$5=F_1$，$17=F_2$。接下来是 $257$ 和 $65\,537$。作图方法见高斯专题。

费马的猜想错了，但它所研究的数，恰恰是另一个问题的正确答案。

练习：F₁ = 5 和 F₂ = 17 是质数。这足以证明所有 Fₙ 都是质数吗？

不足以。它们只是特例。关于所有下标的命题需要一般性的证明，而 $F_5$ 表明这个命题是错的。

练习：验证 n = 3 时 Fₙ − 2 = F₀ · F₁ ⋯ Fₙ₋₁

$F_0F_1F_2=3\cdot5\cdot17=255$，而 $F_3-2=257-2=255$。这个恒等式对每个 $n$ 都成立，说明两个不同的费马数没有公因数。由此可以得到质数有无穷多个的一个新证明。

资料来源： 费马传记，MacTutor。