Euler's Eyes
2026-10-11
极大值与极小值：面积最大的矩形
你有 24 米长的篱笆，想围出一块面积尽可能大的矩形地。该怎么选边长？又长又窄的矩形浪费篱笆；正方形似乎更好。但怎样证明呢？
费马大约在 1636 年发明了一种解决这类问题的方法，比牛顿早三十多年，比莱布尼茨发表微积分早将近五十年。
费马的问题
费马的第一个例子正是这个：把长为 $b$ 的线段分成两部分 $x$ 和 $b-x$，使乘积 $x(b-x)$ 尽可能大。这就是我们的地块：24 米篱笆，相邻两边之和为 $12$，面积为
$$A(x)=x(12-x)=12x-x^2,\qquad0近似相等的思想
费马注意到一件简单的事：在极大值附近，函数几乎不变。站在山顶，向旁边迈一步，高度几乎不变；离山顶很远时，迈一步高度就变化很大。
于是他把 $x$ 处的值与邻近点 $x+e$ 处的值作比较，其中 $e$ 是一个小量。在极大值处，两者应当“几乎相等”。费马把这种近乎相等称为 adaequatio，即近似相等（adequality），这个词取自丢番图。
我们跟着他的步骤走：
- 令邻值相等。 写出 $A(x+e)\approx A(x)$： $$12(x+e)-(x+e)^2\approx12x-x^2.$$
- 化简。 展开，并消去两边相同的项： $$12e-2xe-e^2\approx0.$$
- 除以 $e$： $$12-2x-e\approx0.$$
- 去掉 $e$。 既然已经没有除法了，费马就直接把剩下的 $e$ 抹掉： $$12-2x=0\quad\Longrightarrow\quad x=6.$$
最好的地块是边长为 6 的正方形，面积 36 平方米。
注意，第 3 步的表达式在抹掉 $e$ 之后，正是我们今天所说的导数：$A'(x)=12-2x$。极大值出现在导数为零的地方。费马在做微分学，只是没有这个名字。
不用微积分的证明
费马的方法找到的是极大值的候选点。要证明它确实是极大值，有一个代数技巧：配方。
$$A(x)=12x-x^2=36-(x-6)^2.$$平方永远不为负，所以 $(x-6)^2\ge0$，$A(x)\le36$。等号只在 $x=6$ 时成立。周长为 24 米的矩形中，没有哪个面积更大。
容积最大的盒子
这个方法也适用于比围地更难的问题。一家工厂有边长 6 米的正方形钢板，想做无盖的盒子：在每个角上剪去一个边长为 $x$ 的正方形，再把四边折起来。底面边长为 $6-2x$，高为 $x$，容积为
$$V(x)=(6-2x)^2x=4x^3-24x^2+36x,\qquad0当 $x=3$ 时根本没有底面，容积为零。最大值在 $x=1$：底面 $4\times4$、高 1 的盒子，容积 $16$ 立方米。作为比较，$x=0.5$ 时容积为 $12.5$ 立方米，$x=1.5$ 时为 $13.5$ 立方米。
与笛卡儿的争论
费马用同样的方法求曲线的切线。1638 年这个方法传到笛卡儿那里，笛卡儿对它发起攻击，说它含糊不清，只是碰巧管用。费马平静地回应，两人的通信越来越尖锐。最后，笛卡儿勉强承认这个方法有效。他只是不明白为什么有效，因为费马没有解释。
最微妙的是第 4 步：先假定 $e\neq0$ 而用它来除，然后又把它当作零抹掉。这与牛顿的 $o$、莱布尼茨的 $dx$ 遇到的是同一个问题。直到 19 世纪有了极限的概念，这一步才变得严格。
费马从未发表过这个方法。这篇《求最大值和最小值的方法》大约在 1636 年以手抄本的形式寄给梅森，在巴黎的数学家之间辗转传阅。直到 1679 年，它才收进他的儿子萨米埃尔编的《数学杂集》（Varia opera mathematica）中付印；19 世纪末，保罗·塔内里和夏尔·亨利编成《费马全集》，才有了完整的版本。
练习：周长为 40 时，最大面积是多少？
两边为 $x$ 和 $20-x$。面积为 $20x-x^2=100-(x-10)^2$，最大为 100，此时是边长 10 的正方形。
练习：一块地靠墙，只需围三面。用 24 米篱笆，最大面积是多少？
设垂直于墙的两边各长 $x$，则平行于墙的一边长 $24-2x$。面积 $A=x(24-2x)=24x-2x^2$。由近似相等法：$24-4x=0$，得 $x=6$。地块为 $6\times12$，面积 72 平方米。这一次最好的形状不是正方形。
资料来源： 费马传记，MacTutor。
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