无穷递降法：更小的解导致矛盾

想象一道楼梯，每一级都标着一个正整数。你可以往下走：10、7、4、2、1……但总有一刻楼梯会到底。不存在一个无穷的、越来越小的正整数序列。

这似乎显而易见。费马却把这个显然的事实变成了数论中最强大的工具之一：无穷递降法。

怎么用

要证明一个方程没有正整数解：

费马为这个方法感到自豪。在 1659 年写给数学家皮埃尔·德·卡尔卡维的信中，他说他关于数的大多数结果都是用这个方法证明的。

希腊人早已知道 $\sqrt2$ 不是分数。无穷递降法给出一个简短而漂亮的证明。

假设 $\sqrt2=\dfrac ab$，其中 $a$、$b$ 为正整数。两边平方：

$$a^2=2b^2.$$

右边是偶数，所以 $a^2$ 是偶数。奇数的平方是奇数，所以 $a$ 必须是偶数：$a=2c$。代入：

$$4c^2=2b^2\qquad\Longrightarrow\qquad b^2=2c^2.$$

看看发生了什么：$(b,c)$ 满足与 $(a,b)$ 相同的方程，也就是 $\sqrt2=\dfrac bc$。而且这个新分数的数更小：由于 $a^2=2b^2<4b^2$，有 $a<2b$，所以 $c=\dfrac a2

重复下去，得到 $\dfrac cd$、$\dfrac de$……，分母 $b>c>d>e>\cdots$ 越来越小，却始终为正。楼梯将永远走不到底。矛盾：$\sqrt2$ 不是分数。

费马自己最著名的例子是关于边长为整数的直角三角形，比如 $3,4,5$。他证明了：这样的三角形的面积永远不是完全平方数。例如 $3,4,5$ 三角形的面积是 $6$，不是平方数。

这个证明写在丢番图《算术》的页边，是费马留下的唯一一个完整的数论证明。它从一个面积为平方数的三角形出发，非常巧妙地构造出另一个同类型、边更短的三角形。这就是无穷递降。

描述这个方法很容易。难点在第 2 步：发现怎样构造更小的解。对于 $\sqrt2$，除以 2 就够了；对于费马的三角形，构造既巧妙又冗长；而对于更难的问题，没人知道该怎么做。递降法不是自动的配方，而是一种每次都需要新想法的策略。

还要注意，这个方法依赖于整数。对于实数，一个序列可以毫无问题地无限递减：$1,\frac12,\frac14,\frac18,\ldots$ 永不终止，也永远不会变成负数。

练习：为什么递减的正实数序列不会导致同样的矛盾？

因为 $1,\frac12,\frac14,\frac18,\ldots$ 是无穷的、正的，而且一直递减。递降法只对不能无限减小的正整数有效。

练习：改写这个证明，说明 √3 不是分数

若 $a^2=3b^2$，则 3 整除 $a^2$；由于 3 是质数，它整除 $a$：$a=3c$。于是 $9c^2=3b^2$，即 $b^2=3c^2$。$(b,c)$ 是一个新解。由于 $a^2=3b^2<9b^2$，有 $a<3b$，所以 $c=\frac a3

资料来源： 费马传记，MacTutor。