我从无到有，创造了一个奇异的新宇宙。

— 亚诺什·鲍耶致父亲的信（1823 年 11 月 3 日）

欧几里得的前四条公设简短而显然：作直线、延长直线、作圆、所有直角相等。第五条却不一样：

如果一条直线与两条直线相交，在同侧所成的两个内角之和小于两直角，那么这两条直线无限延长后，必在这一侧相交。

它很长，而且谈的是没有人能验证的事情：两条直线 无限 延长后会怎样。欧几里得似乎也对它心存疑虑：他尽可能避免使用它，直到命题 I.29 才第一次引用。

普莱费尔的形式

有一个更容易记住的版本，由苏格兰人约翰·普莱费尔在 1795 年推广：过直线外一点，有且只有一条直线与之平行。在其他公设成立的前提下，这两种形式是等价的：接受其中一个，就必须接受另一个。

三角形的内角

第五公设最有名的推论是命题 I.32：三角形的三个内角之和等于两直角，即 $180°$。本站旧的三角学课程称之为第一条"准则"：

$$\boxed{\alpha+\beta+\gamma=180°.}$$

证明：过三角形 $ABC$ 的顶点 $C$ 作底边 $AB$ 的平行线。这条平行线与 $CA$ 和 $CB$ 所成的角，分别等于三角形的角 $\alpha$ 和 $\beta$，因为它们是 内错角（I.29）。连同角 $\gamma$，三个角并排位于平行线上，组成一个平角 $180°$。内错角相等这一步，正是第五公设起作用的地方。

两千年的证明尝试

两千年来，数学家们认为第五公设不应该是公设，而应该是定理：应该能由前四条推出来。托勒密、普罗克洛斯、波斯人欧玛尔·海亚姆、同为波斯人的纳西尔丁·图西、英国人约翰·沃利斯都尝试过，全都失败了：每一个"证明"都暗中用到了某个与公设本身等价的假设。

1733 年，耶稣会神父吉罗拉莫·萨凯里换了一条路：假设公设是 错 的，然后推出矛盾。他推出了几十条奇怪的定理，比如内角和小于 $180°$ 的三角形。他没有找到任何矛盾，但坚信矛盾一定存在，于是宣称这些结果"与直线的本性相抵触"，并以《洗清一切瑕疵的欧几里得》为题出版了这本书。他离一个发现只有一步之遥，却没有看见。

新的几何

十九世纪初，有三个人各自独立地迈出了缺失的那一步：承认没有第五公设的几何 和欧几里得几何一样自洽。高斯在 1820 年前后就得出了这个结论，但因为害怕引起反响而没有发表。俄国人尼古拉·罗巴切夫斯基于 1829 年在喀山大学的一份刊物上发表了它。匈牙利人亚诺什·鲍耶是一位数学家的儿子，他于 1832 年把它作为附录发表在父亲的书中。

鲍耶的父亲法尔卡什一生都在试图证明第五公设。得知儿子走上同一条路时，他写信恳求儿子放弃：“看在上帝的份上，别碰平行线了。要像厌恶一种不体面的激情那样厌恶它；它会夺走你所有的时间、你的健康、你内心的安宁和你一生的幸福。” 亚诺什没有放弃，1823 年他用本文开头那句话回复了父亲。

在这种 双曲几何 中，过直线外一点有 无穷多条 平行线，三角形的内角和总是 小于 $180°$。三角形越大，内角和越小。

球面上的几何

还有相反的情形。在球面上，“直线"即最短的路径是 大圆，比如赤道和经线。两个大圆总是相交：没有平行线。取一个由赤道和从北极出发、相隔 $90°$ 的两条经线围成的三角形。三个角都是直角，内角和为

$$90°+90°+90°=270°.$$

在球面上，三角形的内角和总是 大于 $180°$，超出的部分与三角形的面积成正比。对小三角形，比如一块地或一个房间，这个差别觉察不到，所以欧几里得几何在地球上这么好用。沿大圆弧飞行的飞行员则需要另一种几何。

练习：在欧几里得三角形中，两个角分别是 47° 和 68°。第三个角是多少？

$180°-47°-68°=65°$。在球面几何中，答案取决于三角形的大小；在双曲几何中也是如此。

练习：在球面上，三角形的超出量与面积成正比：面积 = R² × 超出量（超出量用弧度）。三个直角的三角形占地球表面的多少？

超出量为 $270°-180°=90°=\frac\pi2$ 弧度，所以面积为 $\frac\pi2R^2$。球面面积为 $4\pi R^2$，比例为 $\frac{\pi/2}{4\pi}=\frac18$。这很合理：赤道和相隔 $90°$ 的两条经线把北半球分成四等份，每一份是地球的八分之一。

来源： 《几何原本》第五公设和命题 I.32，D. E. Joyce 编 · Roberto Bonola，Non-Euclidean Geometry（Dover，1955）· Jeremy Gray，Ideas of Space（Oxford，1989）。

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