点是没有部分的东西。线是只有长度而没有宽度的。

— 欧几里得，《几何原本》第一卷，定义 1 和 2

设想你要让一个人毫无疑问地相信，三角形的内角和总是 180°。测量是不够的：量角器有误差，而且你只能量几个三角形。你需要一个 论证。但任何论证都要从某处出发。从哪里出发呢？如果每个论断都要由另一个论断来证明，而那个论断又要由另一个来证明，这条链子就永远没有尽头。

欧几里得的办法是在第一页就明确宣布他从哪里出发。其余的一切都必须证明。

三类基础

《几何原本》第一卷以三份清单开头。

  • 定义（第一卷有 23 条）：说明所谈论的是什么。“点是没有部分的东西。““圆是由一条线围成的平面图形，从图形内一点到这条线的所有直线都相等。”
  • 公设（5 条）：请读者接受的、关于在几何中能做什么的事情。
  • 公理（又称"公共概念”，5 条）：对任何量都成立、不只限于几何的一般真理。

五条 公设，意译如下：

  1. 从任一点到任一点可以作一条直线。
  2. 一条有限直线可以沿直线连续延长。
  3. 以任意中心和任意半径可以作圆。
  4. 所有直角彼此相等。
  5. 如果一条直线与两条直线相交，在同侧所成的两个内角之和小于两直角，那么这两条直线无限延长后，必在这一侧相交。

前三条描述了用 没有刻度的直尺 和 圆规 能做的事：画直线、延长直线、画圆。《几何原本》中的每一个作图都只用这两件工具。第四条保证直角是一个标准度量。第五条比其他几条长，也不那么显然，这就是著名的 平行公设。

五条 公理 是：

  1. 等于同量的量彼此相等。
  2. 等量加等量，其和相等。
  3. 等量减等量，其差相等。
  4. 彼此重合的东西彼此相等。
  5. 整体大于部分。

第一条就是我们今天写的：若 $a=c$ 且 $b=c$，则 $a=b$。它在 第一个命题 里就用上了。

十三卷的总图

卷 内容
一 三角形、平行线和 毕达哥拉斯定理
二 几何代数：矩形和正方形的面积
三、四 圆与内接多边形
五 欧多克索斯的比例论
六 相似图形
七至九 数论：最大公约数、素数、完全数
十 不可公度量，例如 $\sqrt2$
十一至十三 立体几何与五种正多面体

全书最后证明，正多面体恰好有 五种：正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。柏拉图把它们与自然界的元素联系起来，有人认为整本书就是为了到达它们而写的。

圆与穷竭法

第十二卷回答了一个非常古老的问题：圆的面积是多少？埃及人有一个配方。在大约公元前 1550 年的莱因德纸草书中，直径为 9 的圆形田地的面积等于边长为 8 的正方形的面积，这相当于取 $\pi\approx\frac{256}{81}\approx3.16$。在《圣经》中，所罗门圣殿的大铜海"从这边到那边十肘"“周围三十肘”（《列王纪上》7:23）：在那里，$\pi=3$。

欧几里得没有给出任何数值。在命题 XII.2 中，他证明了两个圆的面积之比等于它们直径上的正方形之比。用今天的话说，面积是 $kd^2$，所有圆的常数 $k$ 都相同。这个证明源自欧多克索斯：在圆内先内接一个正方形，再内接一个正八边形，再内接一个正十六边形，依此类推。正方形已经占了圆的一半以上，而每次把边数加倍，多边形都会盖住剩余部分的一半以上。剩下的部分可以小于任何给定的量。这就是穷竭法：用多边形把图形"穷竭”，却从不谈论无穷。

不久之后，阿基米德用同样的方法，以圆内外各一个正 96 边形，证明了 $3\frac{10}{71}<\pi<3\frac17$，即 $3.1408<\pi<3.1429$。字母 $\pi$ 直到 1706 年才出现，并通过欧拉传播开来。

一条依赖链

《几何原本》的特别之处在于它的顺序。命题 I.1 只用定义、公设和公理。I.2 还用到了 I.1。I.47，即毕达哥拉斯定理，用到 I.4、I.14、I.41 和 I.46，而这些又用到别的命题。从第十三卷的最后一条定理出发，可以沿着一条命题链，一条依赖另一条，一直追溯到五条公设。

练习：由 AB = CD 和 CD = EF 推出 AB = EF，依据的是哪一条公理？

是 第一条：等于同量的量彼此相等。这里 $AB$ 和 $EF$ 都等于 $CD$。今天我们把等式的这个性质叫作 传递性。

练习：用直尺和圆规，怎样找到线段 AB 的中点？

以 $A$ 为圆心、以 $B$ 为圆心，各作半径为 $AB$ 的圆。两圆交于两点 $C$ 和 $D$，分别位于 $AB$ 两侧。直线 $CD$ 与 $AB$ 交于中点 $M$。为什么？$ACBD$ 的四条边都等于 $AB$，所以它是菱形，而菱形的对角线互相平分。这就是命题 I.10，只用了公设 1 和 3。

来源： 欧几里得《几何原本》第一卷，D. E. Joyce 编 · Thomas L. Heath，The Thirteen Books of Euclid’s Elements（Dover，1956）· 关于术语和最初的证明，另见本站的 《几何原本》基础部分。

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