如果任意分一条直线，整条线上的正方形等于两段上的正方形加上两段所夹矩形的两倍。

— 欧几里得，《几何原本》命题 II.4

希腊人没有表示未知数的字母，没有加号减号，也没有等号。他们想说 $a\cdot b$ 时，就说边长为 $a$ 和 $b$ 的 矩形；想说 $a^2$ 时，就说边长为 $a$ 的 正方形。我们用来称呼乘方的"平方"和"立方"就是由此而来。《几何原本》第二卷全是这样写的：都是代数恒等式，却以面积的事实来陈述和证明。历史学家称之为 几何代数。

和的平方

引文中的命题 II.4 说：把一条线段分成两段 $a$ 和 $b$。整条线段上的正方形（边长 $a+b$）等于 $a$ 上的正方形，加上 $b$ 上的正方形，再加上两个边长为 $a$ 和 $b$ 的矩形。只要看看被分成四块的大正方形的图就明白了。用今天的记号：

$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.$$

学校里要背的公式，欧几里得是 画 出来的。证明就是那张图：四块正好填满大正方形，不多也不少。

平方差

命题 II.5 就是俄克喜林库斯纸草上的那一条，那是已知最古老的《几何原本》残片。用今天的话说，它讲的是：如果把长为 $2m$ 的线段从中点分开，同时又在任意一点分成 $m+d$ 和 $m-d$ 两段，那么

$$(m+d)(m-d)+d^2=m^2.$$

这就是恒等式 $m^2-d^2=(m+d)(m-d)$，即 平方差。欧几里得的证明是从一个矩形上切下一块，把它补到一个小正方形旁边，拼成一个正方形。

配方

欧几里得之后一千年，约 820 年，出身于中亚花剌子模地区、在巴格达智慧宫工作的数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米，写了一本关于如何解含有一个未知量的问题的书。书名中有 al-jabr 一词，意为"还原"，由此产生了 代数（algebra）一词；作者的名字则产生了 算法（algorithm）一词。本站旧的"巴斯卡拉公式"课程讲过他的一个例子：

一个平方加上它的十个根等于三十九。这个平方是多少？

用今天的语言就是 $x^2+10x=39$。花拉子米的解法和欧几里得会用的完全一样：用面积。

x² + 10x = 39 的几何解法。边长为 x 的黄色正方形和两个边长为 x 与 5 的绿色矩形，合起来面积为 39。边长为 5 的红色小正方形补成一个边长为 x + 5 的正方形。
x² + 10x = 39 的几何解法。边长为 x 的黄色正方形和两个边长为 x 与 5 的绿色矩形，合起来面积为 39。边长为 5 的红色小正方形补成一个边长为 x + 5 的正方形。Euler’s Eyes 绘图
  1. 画一个边长为 $x$ 的正方形：面积为 $x^2$。
  2. “十个根” $10x$ 被分成两个边长为 $x$ 和 $5$ 的矩形，分别贴在正方形的两条边上。整个 L 形的面积为 $x^2+10x=39$。
  3. 角上还缺一个边长为 $5$、面积为 $25$ 的小正方形，才能补成一个大正方形。补上它：大正方形面积为 $39+25=64$。
  4. 面积为 $64$ 的正方形边长为 $8$。而大正方形的边长是 $x+5$。所以 $x+5=8$，$x=3$。

用今天的记号，就是：

$$x^2+10x+25=39+25\quad\Longrightarrow\quad(x+5)^2=64\quad\Longrightarrow\quad x+5=8\quad\Longrightarrow\quad x=3.$$

这就是 配方法，由它得出的公式在巴西以十二世纪印度数学家巴斯卡拉的名字命名。几何有一个局限：正方形的边长不能是负的，所以花拉子米只看到解 $x=3$。另一个根 $x+5=-8$，即 $x=-13$，要到几个世纪以后才被接受。

一般公式

同样的推理对 $x^2+px=q$ 也适用：矩形的边长为 $\frac p2$，小正方形面积为 $\frac{p^2}4$，于是

$$\left(x+\frac p2\right)^2=q+\frac{p^2}4\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac p2+\sqrt{\frac{p^2}4+q}.$$

对 $ax^2+bx+c=0$，除以 $a$ 后重复这个计算，得到

$$\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.}$$
练习：像本站旧的巴斯卡拉课程那样，用配方解 x² + 8x = 65。

两个矩形边长为 $x$ 和 $4$；角上的小正方形面积为 $16$。于是 $(x+4)^2=65+16=81$，大正方形边长为 $9$，$x=9-4=5$。验算：$25+40=65$。

练习：用平方差心算 47 × 53。

$47\times53=(50-3)(50+3)=50^2-3^2=2\,500-9=2\,491$。这就是 $m=50$、$d=3$ 时的命题 II.5。

来源： 《几何原本》第二卷，D. E. Joyce 编 · Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi，The Algebra of Mohammed ben Musa，Frederic Rosen 译（1831）· Victor J. Katz，A History of Mathematics（Pearson，2009），第 3 章和第 9 章。

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