Bernoulli

A vida de James Bernoulli

Linha do tempo 1655Nasce em 6 de janeiro, em Basileia, numa família de comerciantes de especiarias. 1671Obtém o grau de mestre em filosofia. Continua os estudos de teologia, por vontade do pai. 1676Termina a teologia e parte em viagem. Em Genebra, ensina matemática a uma menina cega. 1681Visita a Inglaterra, onde conhece Robert Boyle e Robert Hooke. Escreve sobre o grande cometa de 1680. 1683De volta a Basileia, dá aulas de física experimental e estuda o problema dos juros compostos. 1684Casa-se com Judith Stupanus. Começa a ler os artigos de Leibniz sobre o cálculo. 1687Torna-se professor de matemática da Universidade de Basileia, cargo que ocupa até morrer. 1689Publica a primeira das suas dissertações sobre séries infinitas, com a série harmônica. 1690Resolve o problema da isócrona e usa, pela primeira vez, a palavra integral. 1694Descreve a lemniscata. 1697Rompe publicamente com o irmão Johann, a propósito da braquistócrona. 1705Morre em 16 de agosto, em Basileia. Deixa inacabada a Ars conjectandi. 1713A Ars conjectandi é publicada pelo sobrinho Nicolaus. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1655–1676 BasileiaNasce numa família de comerciantes de especiarias. Por vontade do pai, estuda teologia; por conta própria, matemática. 1676 GenebraÉ preceptor de Elisabeth von Waldkirch, uma menina cega, a quem ensina a ler, a escrever e um pouco de matemática. 1677–1680 FrançaEstuda a filosofia de Descartes e de Malebranche. 1681 HolandaConhece os cientistas da nova filosofia experimental. 1681 InglaterraConhece Robert Boyle e Robert Hooke e escreve sobre o grande cometa de 1680. 1683–1705 BasileiaVolta para casa, aprende sozinho o cálculo de Leibniz e é professor da universidade até morrer, em 1705. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Os anos de viagem de Jakob Bernoulli, de Basileia à Inglaterra e de volta. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os juros que nunca acabam e o número e

Imagine um banco generoso que paga 100% de juros ao ano. Você deposita 1 real em janeiro e, em dezembro, tem 2 reais. Agora o banco oferece outra coisa: em vez de 100% no fim do ano, paga 50% a cada seis meses, e os juros do primeiro semestre também rendem no segundo. Vale a pena? E se pagar a cada mês, a cada dia, a cada segundo? Dá para ficar infinitamente rico?

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A série harmônica e o pedido de ajuda

Assim como a série infinita é contida pela soma finita, e no ilimitado se discerne o limite, também a alma da imensidão mora no ínfimo, e no limite mais estreito não há limites. — Jakob Bernoulli, Tractatus de seriebus infinitis (1689) Entre 1689 e 1704, Jakob Bernoulli publicou em Basileia cinco dissertações sobre séries infinitas, somas com infinitas parcelas. Era um assunto novo e perigoso. Algumas dessas somas dão um número, como

October 14, 2026 Iniciar leitura

A espiral maravilhosa e a lemniscata

Com o cálculo de Leibniz nas mãos, os irmãos Bernoulli saíram à caça de curvas. Para cada uma perguntavam: qual é a tangente, qual é o comprimento, qual é a área, qual é a curvatura? Muitas dessas curvas eram conhecidas desde os gregos, mas só agora se podia responder a essas perguntas com uma regra geral. Duas ficaram para sempre com o nome de Jakob. A espiral que não muda de forma A espiral logarítmica já tinha sido estudada por Descartes e por Torricelli. Em coordenadas polares, em que cada ponto é dado pela distância $r$ ao centro e pelo ângulo $\theta$, ela é

October 14, 2026 Iniciar leitura

A arte de conjecturar: contar as chances

Conjecturar uma coisa é medir a sua probabilidade. Por isso definimos a arte de conjecturar, ou estocástica, como a arte de medir o mais exatamente possível as probabilidades das coisas, para que, nos nossos juízos e ações, possamos sempre escolher ou seguir aquilo que nos pareça melhor, mais satisfatório, mais seguro ou mais ponderado. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV Em 1654, Pascal e Fermat trocaram cartas sobre como dividir o dinheiro de um jogo interrompido. Em 1657, o holandês Christiaan Huygens publicou um livrinho de quinze páginas sobre os cálculos dos jogos de dados. Eram problemas de salão: dados, cartas, apostas.

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O teorema de ouro: a lei dos grandes números

Até o mais tolo dos homens, por algum instinto da natureza, sozinho e sem nenhuma instrução, está convencido de que, quanto mais observações forem feitas, menor é o perigo de errar o alvo. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV Com um dado, sabemos de antemão a chance de cada face: $\frac16$. Mas qual é a chance de um homem de 40 anos viver mais vinte? De chover amanhã? De um remédio funcionar? Nesses casos não há faces iguais para contar. Jakob propôs outro caminho: observar muitas vezes e usar a frequência como estimativa da probabilidade. Se, de muitos homens de 40 anos, metade chegou aos 60, a chance deve ser perto de metade.

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Os números de Bernoulli: somar mil potências em sete minutos

Com a ajuda desta tabela, levei menos de meio quarto de hora para descobrir que as décimas potências dos mil primeiros números, somadas, dão 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte II Conta-se que Gauss, menino, somou de 1 a 100 em segundos, emparelhando o primeiro com o último: $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$. Para os quadrados e os cubos também há fórmulas, conhecidas desde Arquimedes e os árabes:

October 14, 2026 Iniciar leitura

O legado de James Bernoulli

James Bernoulli viveu só cinquenta anos e publicou pouco em vida, quase tudo em artigos curtos nas Acta Eruditorum. Mesmo assim, poucos matemáticos deixaram tantas palavras, símbolos e ideias que ainda usamos todos os dias: integral, ensaio de Bernoulli, distribuição binomial, números de Bernoulli, lei dos grandes números, estocástico. A palavra integral Leibniz chamava a operação inversa da derivada de calculus summatorius, o cálculo das somas, e a escrevia com o $\int$, um S alongado de summa. Em maio de 1690, ao resolver o problema da isócrona, Jakob escreveu que as duas expressões tinham “integrais iguais”. Foi a primeira vez que a palavra integral apareceu impressa num texto de matemática. Johann adotou o termo, e em 1696 Leibniz concordou em trocar o seu “cálculo sumatório” pelo cálculo integral dos Bernoulli. O símbolo ficou o de Leibniz; o nome, o de Jakob.

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Créditos das imagens

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Jakob Bernoulli, pintado em 1687 pelo irmão Niklaus Bernoulli: página de origem · domínio público. Folha de rosto da Ars conjectandi, Basileia, 1713: página de origem · domínio público. Lápide de Jakob Bernoulli no claustro da catedral de Basileia, foto de Wladyslaw Sojka: página de origem · Licença Arte Livre. Corte de uma concha de náutilo, foto de Florian Elias Rieser: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A capa, o desenho das duas espirais e o gráfico da proporção de caras em lançamentos simulados de uma moeda são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. A tabela das notações da integral, no texto sobre o legado, foi refeita a partir de uma tabela do antigo curso de cálculo deste site.

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