正如无穷级数被有限的和所包含，在无界之中可以辨认出界限，无垠的灵魂也栖居于微小之中，而在最狭窄的界限里并无界限。

— 雅各布·伯努利，《无穷级数论》（1689）

1689 年到 1704 年间，雅各布·伯努利在巴塞尔发表了五篇关于 无穷级数 的论文，也就是有无穷多项的和。这是一个新颖而危险的题目。有些这样的和会得到一个数，例如

$$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$

另一些则不停地增长。难就难在判断每个和属于哪一类，因为常识会骗人。

调和级数

考虑正整数倒数之和：

$$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$$

音乐家称它为 调和 级数，因为 $\frac12,\frac13,\frac14,\dots$ 正是产生一个音的各个泛音的弦长。各项越来越小，趋于零。直觉告诉我们，这个和应该停在某处。可是它增长得太慢，让人看不出端倪：

项数 近似和
10 2.93
1 000 7.49
1 000 000 14.39
$10^{43}$ 100.0

要超过 $10^{43}$ 项才能达到 100。即便如此，雅各布证明了这个和会超过 任何 数。

雅各布的证明

他把级数分成以平方数结尾的若干段。取一个数 $a$，以及从 $\frac1a$ 到 $\frac1{a^2}$ 的各项。把 $\frac1a$ 放在一边，剩下 $a^2-a$ 项，每一项都至少是其中最小的 $\frac1{a^2}$。于是

$$\frac1a+\left(\frac1{a+1}+\cdots+\frac1{a^2}\right)\geq\frac1a+\frac{a^2-a}{a^2}=\frac1a+1-\frac1a=1.$$

每一段都至少等于 1。接下来只要把它们一段段接起来：从 $\frac12$ 到 $\frac14$，从 $\frac15$ 到 $\frac1{25}$，从 $\frac1{26}$ 到 $\frac1{676}$，依此类推：

$$1+\underbrace{\frac12+\frac13+\frac14}_{\geq1}+\underbrace{\frac15+\cdots+\frac1{25}}_{\geq1}+\underbrace{\frac1{26}+\cdots+\frac1{676}}_{\geq1}+\cdots$$

段数无穷多，每段至少为 1，所以和会超过任何数。它 发散。

雅各布承认弟弟约翰比他更早找到了另一种证明，并把它发表在同一篇论文里。兄弟俩都不知道，法国人尼古拉·奥雷斯姆早在 1350 年前后就做过同样的事，他把各项分成 1、2、4、8……项一组。

平方：小于 2

如果分母是平方数呢？

$$1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\frac1{25}+\cdots$$

这一次雅各布证明了相反的结论：这个和 不会 超过 2。诀窍是把每一项和一个差作比较。当 $n\geq2$ 时，

$$\frac1{n^2}<\frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1n.$$

从 $n=2$ 加到 $n=N$，几乎所有项都消掉了：

$$\begin{aligned}\sum_{n=2}^{N}\frac1{n^2}&<\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{N-1}-\frac1N\right)\\&=1-\frac1N<1.\end{aligned}$$

加上第一项，$1+\frac14+\frac19+\cdots<2$。这个和是一个只增不减且不超过 2 的数列，所以会趋于某个数。是哪个数？ 雅各布没能找出来。

求助

雅各布在讨论的结尾用拉丁文向欧洲的数学家们公开求助：

如果有人找到我们至今未能求得的结果并告诉我们，我们将不胜感激。

— 雅各布·伯努利，《无穷级数论》（1689）

在他有生之年，没有人做到。这个问题因伯努利家族所在的城市而被称为 巴塞尔问题。约翰也尝试过，同样失败了。1735 年，约翰从前的学生 莱昂哈德·欧拉 找到了答案：

$$1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots=\frac{\pi^2}6\approx1.6449.$$

约翰得知后感叹，可惜哥哥已经不在人世，看不到这一天了。

练习：调和级数要取多少项才能超过 3？

部分和依次为 $1$、$1.5$、$1.833$、$2.083$、$2.283$、$2.45$、$2.593$、$2.718$、$2.829$、$2.929$、$3.020$。需要 11 项：$1+\frac12+\cdots+\frac1{11}\approx3.02$。

练习：用同样的思路证明 1/1·2 + 1/2·3 + 1/3·4 + ... 恰好等于 1。

因为 $\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$，加到第 $N$ 项的和为

$$\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1N-\frac1{N+1}\right)=1-\frac1{N+1}.$$

当 $N$ 增大时，$\frac1{N+1}$ 趋于零，和趋于 $1$。像这样除了两端其余全部抵消的和，称为 裂项相消（望远镜求和）。

来源： Jakob Bernoulli，Tractatus de seriebus infinitis（巴塞尔，1689–1704；收录于《猜度术》书末，1713）· William Dunham，《天才引导的历程》，第 8 章 · 雅各布·伯努利传记，MacTutor。

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