猜度一件事，就是度量它的概率。因此我们把猜度术，或称随机术，定义为尽可能准确地度量事物概率的技艺，使我们在判断和行动中，总能选择或遵循在我们看来更好、更令人满意、更稳妥或更审慎的做法。

— 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第四部分

1654 年，帕斯卡和费马 通信讨论一局中断的赌博该如何分配赌注。1657 年，荷兰人克里斯蒂安·惠更斯出版了一本十五页的小册子，讲掷骰子游戏中的计算。这些都是客厅里的问题：骰子、纸牌、赌注。

雅各布·伯努利想要的远不止这些。在他看来，概率是对 确定程度 的度量，是一个介于 0（不可能）和 1（必然）之间的数，可以用来在法庭上衡量证词、预测一个人还能活多久、评估一份保险，或者判断一种药是否有效。他花了二十年写一本书来说明如何做到。他把它称为 Ars conjectandi，《猜度术》。

《猜度术》的扉页，1713 年在巴塞尔出版，距雅各布去世已有八年。
《猜度术》的扉页，1713 年在巴塞尔出版，距雅各布去世已有八年。Wikimedia Commons · 公有领域

四部分的书

《猜度术》分为四部分。第一部分重印了惠更斯的书，雅各布写的评注比原文还长。第二部分是一门完整的 组合学 课程：排列、组合，以及其中如今以雅各布命名的 幂和。第三部分把这些应用到几十种游戏上。第四部分没有完成，讨论概率在公民、道德和经济生活中的应用，黄金定理 就在这里。

伯努利试验

书中最简单的想法，成了统计学中用得最多的想法之一。设想一个只有两种可能结果的试验：硬币是不是正面，病人是否痊愈，零件是不是次品。其中一种结果叫 成功，概率为 $p$；另一种叫 失败，概率为 $q=1-p$。这个词只是一个标签：在工厂里，被计数的"成功"可能是发现一个次品。

如今这样的试验叫作 伯努利试验。雅各布的问题是：在相同条件下把试验重复 $n$ 次，且各次结果互不影响，恰好得到 $k$ 次成功的概率是多少？

一步步推出公式

先看一个小例子。掷一颗骰子 3 次，“成功"是掷出 6，$p=\frac16$。恰好掷出两个 6 的机会是多少？

一种可能的序列是 6、6、其他。它的概率是每次投掷机会的乘积：

$$\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56=\frac5{216}.$$

但还有其他含两个 6 的顺序：6、其他、6 和 其他、6、6。每一种的概率都是 $\frac5{216}$，因为同样的因子只是换了顺序。共有 3 种顺序，所以

$$P(\text{两个 6})=3\cdot\frac5{216}=\frac{15}{216}\approx6.9\%.$$

顺序的个数，就是选出 哪几次 投掷成功的方法数：从 3 次中选 2 次，即 $\binom32=3$。一般地，每个含 $k$ 次成功、$n-k$ 次失败的序列概率为 $p^kq^{n-k}$，这样的序列有 $\binom nk$ 个。加起来：

$$\boxed{P(n\text{ 次试验中 }k\text{ 次成功})=\binom nk\,p^k\,q^{n-k}}$$

系数 $\binom nk$ 就是 帕斯卡三角形 中的数，而这些概率正是 $(p+q)^n$ 展开式中的各项。所以这个公式叫作 二项分布。由于 $p+q=1$，所有概率之和为 $(p+q)^n=1$，正该如此。

惠更斯的一个问题

在第一部分里，雅各布评注了惠更斯书中的一个问题：一颗骰子要掷多少次，才能使 至少出现一次 6 的机会超过一半？从反面算更容易。$n$ 次投掷中 一次 6 都没有 的机会是 $\left(\frac56\right)^n$，所以

$$P(\text{至少一次 6})=1-\left(\frac56\right)^n.$$

$n=3$ 时，得 $1-\frac{125}{216}\approx42\%$。$n=4$ 时，得 $1-\frac{625}{1296}\approx51.8\%$。掷四次就够了。这正是当年促使帕斯卡和费马通信的德·梅雷骑士的那个赌局。

练习：一份 10 道题的测验，每题 4 个选项，全靠猜，恰好答对 5 题的机会是多少？

每道题是一次 $p=\frac14$、$q=\frac34$ 的试验。于是

$$P=\binom{10}5\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5=252\cdot\frac{3^5}{4^{10}}=252\cdot\frac{243}{1\,048\,576}\approx5.8\%.$$

全靠猜时，最可能的结果是答对 2 题：$\binom{10}2\frac{3^8}{4^{10}}\approx28.2\%$。

练习：一对夫妇计划生四个孩子。假设每个孩子是男是女的机会各为 1/2，哪种情况更可能：两男两女，还是三个同性别、一个异性别？

两男两女：$\binom42\frac1{16}=\frac6{16}$。三个同性别、一个异性别：三男一女有 $\binom43=4$ 种，三女一男也有 4 种，共 $\frac8{16}$。“不平衡"的情况反而更可能，这与直觉通常的判断相反。

来源： Jakob Bernoulli，The Art of Conjecturing，Edith Dudley Sylla 译并作导言（Johns Hopkins，2006）· Anders Hald，A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750（Wiley，1990）· 雅各布·伯努利传记，MacTutor。

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