借助这张表，我用了不到半刻钟（七分半钟）就求出：前一千个数的十次幂之和等于 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500。

— 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第二部分

传说少年 高斯 把第一个数和最后一个数配对，几秒钟就算出了 1 到 100 的和：$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$。平方和与立方和也有公式，从阿基米德和阿拉伯数学家起就已为人所知：

$$\begin{aligned}1^2+2^2+\cdots+n^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\\ 1^3+2^3+\cdots+n^3&=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.\end{aligned}$$

那么四次、五次、十次幂呢？十七世纪，好几位数学家一个一个地推导这些公式，写满了一页又一页。法国人伊斯梅尔·布里奥在 1682 年出版了一部厚书，费尽力气也只推到六次幂。雅各布·伯努利找到了一条能给出 所有 公式的规则。

那张表

在《猜度术》的第二部分，雅各布把这些公式一个接一个地写下来，仔细端详：

$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n k&=\tfrac12n^2+\tfrac12n\\ \sum_{k=1}^n k^2&=\tfrac13n^3+\tfrac12n^2+\tfrac16n\\ \sum_{k=1}^n k^3&=\tfrac14n^4+\tfrac12n^3+\tfrac14n^2\\ \sum_{k=1}^n k^4&=\tfrac15n^5+\tfrac12n^4+\tfrac13n^3-\tfrac1{30}n\\ \sum_{k=1}^n k^5&=\tfrac16n^6+\tfrac12n^5+\tfrac5{12}n^4-\tfrac1{12}n^2\end{aligned}$$

这里有规律。$m$ 次幂之和总是 $m+1$ 次多项式。第一个系数是 $\frac1{m+1}$，与积分 $\int_0^n x^m\,dx=\frac{n^{m+1}}{m+1}$ 一样。第二个系数总是 $\frac12$。后面的系数看起来像 二项式 $(n+1)^{m+1}$ 的系数，只是分别乘上了某些固定的数。

神秘的数

雅各布意识到，只需要一列数，今天记作 $B_0,B_1,B_2,\dots$，称为 伯努利数，就能一次写出所有公式：

$$\boxed{\sum_{k=1}^n k^m=\frac1{m+1}\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j\,n^{m+1-j}}$$

怎样求出 $B_j$？有个简单的诀窍：公式必须对 $n=1$ 成立，此时和只是 $1^m=1$。令 $n=1$，$n$ 的所有幂都变成 1，剩下

$$\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j=m+1.$$

从 $B_0=1$ 开始，每个 $m$ 值给出下一个数：

  • $m=1$：$1+2B_1=2$，所以 $B_1=\frac12$。
  • $m=2$：$1+3\cdot\frac12+3B_2=3$，所以 $B_2=\frac16$。
  • $m=3$：$1+4\cdot\frac12+6\cdot\frac16+4B_3=4$，所以 $B_3=0$。
  • $m=4$：$1+5\cdot\frac12+10\cdot\frac16+0+5B_4=5$，所以 $B_4=-\frac1{30}$。

继续下去，$B_6=\frac1{42}$，$B_8=-\frac1{30}$，$B_{10}=\frac5{66}$，而下标为大于 1 的奇数的都等于零。这些数没有明显的规律：$B_{12}=-\frac{691}{2730}$，此后增长得非常快。

七分钟

有了这列数，十次幂之和的公式马上就出来了：

$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n k^{10}={}&\tfrac1{11}n^{11}+\tfrac12n^{10}+\tfrac56n^9-n^7\\&+n^5-\tfrac12n^3+\tfrac5{66}n.\end{aligned}$$

当 $n=1\,000$ 时，每一项都是 10 的幂乘以一个简单分数。第一项是 $\frac{10^{33}}{11}=90\,909\,090\ldots$，第二项是 $5\cdot10^{29}$，第三项是 $\frac{10^{27}\cdot5}6$，依此类推。把它们加起来，只是对齐小数位的功夫。这就是引文里那句讥讽的意思：布里奥用他整本书也算不出来的东西，雅各布"半刻钟"就算完了，大约七分钟。

为什么行得通

这一切背后的想法是 差分。如果 $F(n)=\sum_{k=1}^n k^m$，那么 $F(n)-F(n-1)=n^m$。而如果 $F$ 是 $m+1$ 次多项式，差分 $F(n)-F(n-1)$ 就是 $m$ 次多项式。所以寻找公式，就是寻找一个差分等于 $n^m$ 的多项式：这正是"寻找导数为 $x^m$ 的函数"的离散版本。伯努利数度量的是和与积分之间的差距。

和与积分之间的这座桥梁，由欧拉和麦克劳林在 1735 年前后发展成一个以两人命名的公式，其中每一项都出现伯努利数。1843 年，阿达·洛夫莱斯为查尔斯·巴贝奇的分析机写了一个计算伯努利数的算法，它被认为是第一个公开发表的计算机程序。

练习：用公式验证 1 到 10 的四次幂之和。

$m=4$ 时：$\sum k^4=\frac15n^5+\frac12n^4+\frac13n^3-\frac1{30}n$。代入 $n=10$：

$$20\,000+5\,000+333.\overline3-0.\overline3=25\,333.$$

直接相加验证：$1+16+81+256+625+1\,296+2\,401+4\,096+6\,561+10\,000=25\,333$。

练习：为什么立方和等于这些数之和的平方？

由表可得 $\sum k^3=\frac14n^4+\frac12n^3+\frac14n^2=\frac{n^2(n^2+2n+1)}4=\frac{n^2(n+1)^2}4$，也就是 $\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$。例如 $1^3+2^3+3^3+4^3=100=(1+2+3+4)^2$。$n=100$ 时，立方和为 $5\,050^2=25\,502\,500$。

来源： Jakob Bernoulli，The Art of Conjecturing，第二部分第 3 章，Edith Dudley Sylla 译（Johns Hopkins，2006）· Donald E. Knuth，“Johann Faulhaber and sums of powers”，Mathematics of Computation 61（1993）· 关孝和传记，MacTutor。

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