雅各布·伯努利只活了五十岁，生前发表的东西不多，几乎都是《学者学报》上的短文。即便如此，很少有数学家像他一样，留下这么多我们至今天天在用的词语、符号和思想：积分、伯努利试验、二项分布、伯努利数、大数定律、随机。

“积分"这个词

莱布尼茨把导数的逆运算称为 calculus summatorius，即求和的演算，并用 $\int$ 来写它，这是 summa（和）的首字母 S 拉长后的样子。1690 年 5 月，雅各布在解决等时曲线问题时写道，两个表达式有"相等的积分”。这是 积分（integral）一词第一次出现在印刷的数学文本里。约翰采用了这个术语；1696 年，莱布尼茨同意把他的"求和演算"改称伯努利兄弟的 积分学。符号沿用莱布尼茨的，名称则来自雅各布。

年份 作者 记号或名称 出处
1659 彼得罗·门戈利 omnia $x$ Geometriae speciosae elementa
1675 莱布尼茨 $\int x$ 1675 年 10 月 29 日的手稿
1690 雅各布·伯努利 “integral” 《学者学报》
1696 莱布尼茨与约翰·伯努利 calculus integralis 通信
1822 傅里叶 $\int_a^b f(x)\,dx$ 《热的解析理论》

悬挂的链子

在 1690 年的同一篇文章里，雅各布问：两端悬挂的链子是什么形状？伽利略曾以为是抛物线。1691 年，约翰、莱布尼茨和惠更斯发表了正确答案，即 悬链线，今天用双曲余弦写作 $y=a\cosh\frac xa$。雅各布在这场比赛中输给了弟弟，但问题是他提出的。悬链线 的故事在约翰的学习路线里。

棣莫弗与正态曲线

黄金定理指出频率会接近概率，但雅各布对所需观察次数的估计过于夸大。1733 年，流亡伦敦的法国人亚伯拉罕·棣莫弗为 $n$ 很大时的二项式各项寻找更好的近似，发现了钟形曲线

$$y=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}.$$

这是 正态曲线 的首次出现，后来拉普拉斯和高斯把它放到了统计学的中心。有了它，雅各布的罐子只需大约 6 500 次抽取，而不是他算出的 25 550 次。

被赢下的挑战

雅各布到死都不知道 $1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots$ 等于多少。三十年后，约翰的学生莱昂哈德·欧拉证明了这个和是 $\frac{\pi^2}6$。后来，欧拉又发现了更令人惊讶的事：雅各布为幂和找到的那些数在这里再次出现。偶次幂倒数之和，总是 $\pi$ 的该次幂乘以一个由伯努利数构成的分数。例如，

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6,\qquad\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.$$

雅各布的两个问题，级数问题和幂和问题，说到底是同一个问题。

留下了什么

  • 概率。 《猜度术》把关于赌博的计算变成了一门关于确定程度的理论。二项分布和伯努利试验出现在每一门统计课程里。
  • 统计。 黄金定理正是民意调查、临床试验和质量控制之所以可行的原因：许多独立的观察能揭示隐藏的概率。
  • 级数。 调和级数的发散性和关于平方的问题，为欧拉开辟了道路。
  • 分析。 伯努利数出现在 $\tan x$ 的级数、欧拉-麦克劳林公式和黎曼 ζ 函数中。
  • 微积分。 “积分"一词、等时曲线、悬链线，以及等周问题，后者为 欧拉和拉格朗日 的变分法做了准备。
  • 曲线。 对数螺线和双纽线，以及开启了椭圆函数理论的那个积分。

要点回顾

  • 雅各布·伯努利生于 1655 年，卒于 1705 年，一生在巴塞尔。他出于顺从学神学，出于热爱学数学，并自学了莱布尼茨的微积分。
  • 复利引出数 $e=\lim\left(1+\frac1n\right)^n\approx2.718$，它介于 2 和 3 之间。
  • 调和级数 $1+\frac12+\frac13+\cdots$ 会超过任何数；平方倒数之和则小于 2。
  • 对数螺线 $r=ae^{b\theta}$ 增长时形状不变，并以相同的角度与每条半径相交。
  • $n$ 次试验中 $k$ 次成功的机会是 $\binom nk p^kq^{n-k}$。
  • 观察越多，频率越接近概率：这就是大数定律。
  • 幂和 $1^m+2^m+\cdots+n^m$ 是 $n$ 的多项式，其系数来自伯努利数。

来源： 雅各布·伯努利传记，MacTutor · Florian Cajori，A History of Mathematical Notations，第二卷（1929），§§ 541–544 · Stephen M. Stigler，The History of Statistics（Harvard，1986）。

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