想象一家慷慨的银行，年利率 100%。你一月存入 1 元，到十二月就有 2 元。现在银行换个方式：不在年底一次付 100%，而是每半年付 50%，上半年的利息在下半年也能生息。这样划算吗？如果每月付、每天付、每秒付呢？能变得无限富有吗？

这正是雅各布·伯努利在 1683 年前后问自己的问题，他在 1690 年把它发表在《学者学报》上。它看上去像记账，答案却是数学中最重要的数之一。

算一算

如果把一年分成 $n$ 个相等的时段，每个时段付 $\frac{100\%}{n}$，也就是余额乘以 $1+\frac1n$。经过 $n$ 个时段后，1 元变成

$$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n.$$

分两个时段，$a_2=1.5^2=2.25$，比 2 多。时段越多，结果越好：

付息方式 $n$ 年末余额
一次 1 2.000000
每半年 2 2.250000
每季度 4 2.441406
每月 12 2.613035
每天 365 2.714567
每小时 8 760 2.718127

余额在增长，但增长得越来越少。从按月付息改成按天付息，只多出大约一角钱；从按天改成按小时，还不到半分钱。余额似乎在逼近 $2.718$ 附近的一个上限。

为什么有上限

伯努利还没有今天意义上的"极限"一词，但他有 牛顿二项式。展开 $a_n$：

$$a_n=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}\cdot\frac1{n^3}+\cdots$$

把每一项整理一下，

$$\begin{aligned}a_n={}&1+1+\frac1{2!}\left(1-\frac1n\right)\\&+\frac1{3!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots\end{aligned}$$

当 $n$ 增大时发生两件事。括号 $\left(1-\frac kn\right)$ 越来越接近 1，所以每一项都在 变大；同时又出现新的项，而且都是正的。因此 $a_n$ 只增不减。另一方面，每个括号都小于 1，所以

$$a_n<1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots$$

而这个和很容易控制：因为 $3!=6>4$，$4!=24>8$，一般地 $k!\geq 2^{k-1}$，

$$a_n<1+\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots\right)=1+2=3.$$

伯努利得出的正是这个结论：余额一直上升，但 始终介于 2 和 3 之间。不管银行把一年分得多细，1 元永远变不成 3 元。一个只增不减又越不过上限的数列，一定会趋近某个值：

$$\boxed{e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=2.718281828\ldots}$$

每时每刻的利息

上面的计算还给出了一个直接求 $e$ 的级数：

$$e=1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots=2+0.5+0.1\overline{6}+0.041\overline{6}+\cdots$$

只取八项就得到 $2.71825$：这个级数收敛得比 $(1+1/n)^n$ 快得多。

对任意年利率 $r$，同样的推理给出 $\left(1+\frac rn\right)^n\to e^r$。这就是 连续复利 公式：本金 $C$ 投资 $t$ 年后变成 $Ce^{rt}$。年利率 100% 时，连续复利比本金多出 $e-1\approx 71.8\%$，而按年付息是 100%。每时每刻付息固然好，但并不是魔法。

练习：年利率 12%，1 000 元存一年，一次付息、按月付息和连续付息各得多少？

一次付息：$1\,000\cdot1.12=1\,120$ 元。按月付息，月利率 $1\%$：$1\,000\cdot1.01^{12}\approx1\,126.83$ 元。连续付息：$1\,000\cdot e^{0.12}\approx1\,127.50$ 元。按月和连续之间相差不到七角钱。

练习：连续复利年利率 7%，本金翻倍需要多长时间？

要求 $e^{0.07t}=2$，即 $0.07t=\ln 2\approx0.693$。于是 $t\approx9.9$ 年。这就是经济学家"70 法则"的来源：翻倍时间约等于 70 除以百分比利率。

来源： Jakob Bernoulli，“Quaestiones nonnullae de usuris”，Acta Eruditorum（1690）· Eli Maor，《e 的故事》· 雅各布·伯努利传记，MacTutor。

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