有了莱布尼茨的微积分，伯努利兄弟开始四处"猎取"曲线。对每一条曲线，他们都要问：切线是什么，长度是多少，面积是多少，曲率是多少？其中许多曲线从古希腊起就为人所知，但直到这时，这些问题才能用一条普遍的规则来回答。有两条曲线从此永远带上了雅各布的名字。

形状不变的螺线

笛卡儿和托里拆利已经研究过 对数 螺线。在极坐标中，每个点由它到中心的距离 $r$ 和角度 $\theta$ 确定，这条螺线是

$$r=a\,e^{b\theta}.$$

每转一整圈，角度增加 $2\pi$，半径总是乘以同一个因子 $e^{2\pi b}$。所以各圈之间不是等距的：每一圈都按同样的比例比前一圈大。

由此得出让雅各布着迷的性质：把螺线 旋转 一个角度 $\alpha$，效果与把它 放大 $e^{b\alpha}$ 倍相同。如果把这条螺线的照片放大，得到的还是同一条螺线，只是转了一下。它在任何尺度下都与自身相同。

左边是雅各布要求刻在墓碑上的对数螺线：每一圈都比前一圈宽。右边是石匠刻下的阿基米德螺线：各圈间距相等。
左边是雅各布要求刻在墓碑上的对数螺线：每一圈都比前一圈宽。右边是石匠刻下的阿基米德螺线：各圈间距相等。Euler’s Eyes 绘图

不变的角

在螺线上的一点，从中心出发的半径与曲线的切线成一个角 $\psi$。当角 $\theta$ 增加一点点 $d\theta$ 时，这个点在垂直于半径的方向上移动 $r\,d\theta$，沿半径方向移动 $dr$。所以

$$\tan\psi=\frac{r\,d\theta}{dr}=\frac{r}{dr/d\theta}=\frac{r}{b\,r}=\frac1b.$$

$r$ 被约掉了：这个角在 所有 点上都一样。所以这条曲线也叫 等角螺线。一只昆虫如果始终与灯保持固定的角度飞行，就像人们说飞蛾对月亮那样，它就会画出这样一条螺线，最后撞到灯上。

雅各布还发现了更多。由螺线各点曲率中心构成的曲线，是另一条与原来相同的对数螺线。从中心发出、经螺线反射的光线，又形成一条相同的螺线。无论从哪里看，这条曲线都会以同样的样子重生。他称之为 spira mirabilis，奇妙的螺线。

鹦鹉螺壳的剖面。每转一圈，腔室几乎按同样的比例增大，形状接近对数螺线。
鹦鹉螺壳的剖面。每转一圈，腔室几乎按同样的比例增大，形状接近对数螺线。Florian Elias Rieser · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0

大自然出于同样的原因偏爱这条曲线。像鹦鹉螺这样一层层生长而形状不变的动物，会长出对数螺线形的壳。许多星系的旋臂和飓风的云带也呈现类似的形状。

双纽线：横躺的 8 字

1694 年，雅各布在《学者学报》的一篇文章里提出了一条新曲线。取两个定点，即 焦点 $F_1=(-c,0)$ 和 $F_2=(c,0)$。椭圆上的点到两焦点距离之 和 为常数。雅各布把和换成了 积：

$$PF_1\cdot PF_2=c^2.$$

设 $P=(x,y)$，两个距离的平方分别是 $(x+c)^2+y^2$ 和 $(x-c)^2+y^2$。把它们都写成 $(x^2+y^2+c^2)\pm2cx$，乘积就是一个平方差：

$$\begin{aligned}&\left(x^2+y^2+c^2\right)^2-4c^2x^2=c^4\\ &\Longrightarrow\ (x^2+y^2)^2+2c^2(x^2+y^2)-4c^2x^2=0\\ &\Longrightarrow\ \boxed{(x^2+y^2)^2=2c^2\left(x^2-y^2\right)}\end{aligned}$$

这条曲线有两个在原点相交的环，像一个横躺的 8，又像无穷符号 $\infty$。雅各布称它为 lemniscus，这个拉丁词指系成蝴蝶结的丝带，常挂在胜利者的花冠上。

一个没人会算的积分

取 $2c^2=1$，双纽线四分之一的长度是积分

$$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\approx1.311.$$

它很像 $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，后者给出圆周长的四分之一 $\frac\pi2$。但把 $x^2$ 换成 $x^4$ 就大不相同了：这个积分无法用已知的函数写出来。双纽线成了一门新理论，即 椭圆积分 理论的实验室，法尼亚诺、欧拉，以及一个世纪后的 高斯 都研究过它，高斯为它写满了好几本笔记。

练习：哪条对数螺线每转一圈就放大一倍？它的定角是多少？

每圈放大一倍意味着 $e^{2\pi b}=2$，即 $b=\frac{\ln2}{2\pi}\approx0.110$。定角满足 $\tan\psi=\frac1b\approx9.06$，所以 $\psi\approx83.7°$。切线几乎垂直于半径：螺线张开得很慢。

练习：双纽线在哪里与 x 轴相交？

令 $y=0$，方程变成 $x^4=2c^2x^2$。一个解是 $x=0$，即两环相交的原点。其他解来自 $x^2=2c^2$：$x=\pm c\sqrt2$。验证：点 $(c\sqrt2,0)$ 到 $F_1$ 的距离是 $c\sqrt2+c$，到 $F_2$ 的距离是 $c\sqrt2-c$，乘积为 $2c^2-c^2=c^2$。

来源： Jakob Bernoulli，“Specimen alterum calculi differentialis”，Acta Eruditorum（1691），以及 “Constructio curvae accessus et recessus aequabilis”，Acta Eruditorum（1694）· Eli Maor，《e 的故事》，第 11 章 · 雅各布·伯努利传记，MacTutor。

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