发散级数是魔鬼的发明，在它们上面建立任何证明都是一种耻辱。

— 尼尔斯·亨里克·阿贝尔，致霍尔姆伯的信（1826 年 1 月）

1665 年，年轻的牛顿发现，二项式公式对于非整数的指数也成立：

$$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{6}x^3+\cdots$$

当 $m$ 是正整数时，这个和在 $m+1$ 项之后就停止了。当 $m=\frac12$ 或 $m=-1$ 时，它永远不会停：这是一个级数，一个有无穷多项的和。牛顿、欧拉以及 18 世纪的所有数学家都用这个级数取得了巨大成功。几乎没有人问过它什么时候成立。

阿贝尔在中学时就认识了这个级数。16 岁时，他注意到欧拉对二项式公式的证明只对有理数指数成立，于是尝试把它推广到所有的数。八年后，他在柏林以严格得多的方式重新研究了这个问题。

级数骗人的时候

取 $m=-1$。级数给出

$$\frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots$$

当 $x=\frac12$ 时，左边是 $\frac23$，右边 $1-0.5+0.25-0.125+\cdots$ 确实趋近于 $0.666\ldots$ 但当 $x=1$ 时，右边变成 $1-1+1-1+\cdots$，在 $1$ 和 $0$ 之间来回跳，拿不定主意，而左边等于 $\frac12$。欧拉接受这个和"就是" $\frac12$。当 $x=2$ 时情况更糟：左边是 $\frac13$，右边 $1-2+4-8+16-\cdots$ 无限增大。

部分和不趋近于任何数的级数称为发散级数。18 世纪的数学家们随意地摆弄这类级数，有时得出荒谬的结果。在法国，柯西从 1821 年起用他的《分析教程》开始整顿秩序。阿贝尔在巴黎读了柯西的书，并且走得更远。

阿贝尔的证明

在 1826 年发表于《克雷勒杂志》的文章中，阿贝尔以完全严格的方式研究了二项式级数，指数 $m$ 可以是任意的，甚至是复数，$x$ 也可以是任意的。他证明了当 $|x|<1$ 时级数收敛于 $(1+x)^m$，并精确描述了在边界 $|x|=1$ 上会发生什么。这是第一次有人对牛顿的级数做到这一点。

在区间内部，级数表现得非常好。取 $m=\frac12$，系数是 $1,\ \frac12,\ -\frac18,\ \frac1{16},\ -\frac5{128},\dots$，于是

$$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$

对于 $\sqrt{1.2}$，取 $x=0.2$：

$$1+0.1-0.005+0.0005-0.0000625\approx1.0954.$$

真实值是 $1.09545\ldots$：五项就已经给出四位正确的小数。

阿贝尔定理

同一篇文章中有一个今天以他命名的结果。设幂级数 $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$ 在 $x=1$ 处收敛。那么级数在 $x=1$ 处的值，等于 $x$ 从下方趋近 $1$ 时级数值的极限：

$$\boxed{\lim_{x\to1^-}\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty a_n.}$$

这看起来显然，其实不然：这正是前人不假思索地取极限、有时出错的那种步骤。有了这个定理，它就有了保证。举个例子：当 $|x|<1$ 时，

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots$$

在 $x=1$ 处级数收敛，因为各项符号交替且逐渐减小。由阿贝尔定理，它的值是 $\ln2$：

$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln2\approx0.6931.$$
练习：用 √(1 + x) 级数的前四项计算 √0.81。

取 $x=-0.19$：$1-0.095-0.0045125-0.0004287\approx0.90006$。精确值是 $0.9$。第五项 $-\frac{5x^4}{128}\approx-0.00005$ 使结果变为 $0.90001$。

练习：为什么级数 1 − x + x² − x³ + … 在 x = 2 时不可能收敛？

各项是 $1,\ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\dots$，无限增大。级数要收敛，它的项必须趋近于零，因为每个部分和与前一个部分和恰好相差最后一项。这里的部分和是 $1,\ -1,\ 3,\ -5,\ 11,\dots$，相距越来越远。公式 $\frac1{1+x}$ 在 $x=2$ 时仍然等于 $\frac13$；失效的是级数。

来源： Niels Henrik Abel，“Untersuchungen über die Reihe $1+\frac m1x+\frac{m(m-1)}{1\cdot2}x^2+\cdots$"，Journal für die reine und angewandte Mathematik 1（1826）· Øystein Ore，Niels Henrik Abel: Mathematician Extraordinary（1957）· 阿贝尔传记，MacTutor。

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