先穿袜子再穿鞋，和先穿鞋再穿袜子，结果不一样。先加 3 再加 5，和先加 5 再加 3，结果一样。当两个操作的先后顺序不改变结果时，我们说它们可交换。数学家用来称呼一切都可交换的结构的那个词，是为了纪念阿贝尔：阿贝尔的（abelian）。

最后的论文

证明了一般五次方程没有公式之后，阿贝尔想知道哪些方程有公式。1829 年，在他发表于《克雷勒杂志》的最后几篇文章之一中，他研究了一类特殊的方程：所有的根都可以由其中一个根 $x$ 通过有理函数 $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ 得到，而这些函数彼此可交换：

$$\theta_1(\theta_2(x))=\theta_2(\theta_1(x)).$$

阿贝尔证明这类方程总能用根式求解。它们后来被称为阿贝尔方程，再后来，顺序无关紧要的群被称为阿贝尔群。

单位根

最重要的例子是方程 $x^n=1$。它的一个根是

$$\zeta=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n,$$

其余的根都是它的幂：$\zeta^2,\zeta^3,\dots,\zeta^n=1$。把一个根变成另一个根的函数是幂函数 $\theta_a(x)=x^a$，它们可交换：

$$\theta_a(\theta_b(x))=(x^b)^a=x^{ab}=(x^a)^b=\theta_b(\theta_a(x)).$$

由阿贝尔定理，$x^n=1$ 对每个 $n$ 都可以用根式求解。这正是高斯用来作出正十七边形的结构：正多边形的顶点就是 $x^{17}=1$ 的根。

群与交换性

用现代语言说，群是一组可以复合、可以撤销、可以组合的操作，而结果始终留在这组操作之内。如果对任意两个元素都有 $a\circ b=b\circ a$，这个群就是阿贝尔群。

阿贝尔群的例子随处可见：

  • 整数与加法：$3+5=5+3$。
  • 圆的旋转：先转 $30°$ 再转 $50°$，与先转 $50°$ 再转 $30°$ 相同。
  • 时钟算术：在 12 小时制的钟上，9 点再过 5 小时是 2 点。我们写作 $9+5\equiv2\pmod{12}$，加数的顺序同样无关紧要。

也有不是阿贝尔群的群。三角形的对称是最小的例子：先转动三角形再翻转它，与先翻转再转动结果不同。魔方是另一个例子：先转前面再转上面，效果与反过来不同。正是通过研究非阿贝尔群，伽罗瓦解释了五次方程为什么没有公式。

为什么可交换有帮助

阿贝尔证明背后的直觉是：在阿贝尔群中，操作可以一个一个地、以任意顺序进行，而不会互相破坏。每一步对应于开一次方，而这些根可以依次开出。在一个过于复杂的非阿贝尔群里，比如五个根的 120 种置换构成的群，各个步骤互相妨碍，仅靠根式无法走到终点。

练习：在 12 小时的时钟算术中，解 7 + x ≡ 3。再解 5 · x ≡ 1。

第一个：$x\equiv3-7=-4\equiv8$，从 7 点往后走 8 小时就到了 3 点。第二个，逐个试：$5\cdot5=25=2\cdot12+1$，所以 $x\equiv5$。在时钟上，5 是它自己的逆元。

练习：对于正方形，旋转 90° 和沿对角线翻折可以交换吗？

从右上角开始，按逆时针方向把正方形的四个角编号为 1、2、3、4，并使用经过角 1 和角 3 的对角线。先逆时针旋转 $90°$ 再翻折，角 1 先到位置 2，再到位置 4。先翻折再旋转，角 1 先留在位置 1，再到位置 2。结果不同：正方形的对称不构成阿贝尔群。但是只取四个旋转，即 $0°$、$90°$、$180°$、$270°$，它们彼此可交换，构成一个阿贝尔群。

来源： Niels Henrik Abel，“Mémoire sur une classe particulière d’équations résolubles algébriquement”，Journal für die reine und angewandte Mathematik 4（1829）· Israel Kleiner，A History of Abstract Algebra（Birkhäuser，2007）· 阿贝尔传记，MacTutor。

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