从一个熟悉的函数开始，换一种奇怪的角度来看。积分

$$\arcsin x=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$

给出半径为 1 的圆上一段弧的长度，从最低点量起，是高度 $x$ 的函数。这是个复杂的函数。但它的反函数，即把高度表示为弧长的函数，就是正弦，三角学里最简单的函数。而正弦有一个积分所掩盖的性质：它是周期的。因为四分之一圆周的长度是

$$\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac\pi2,$$

所以正弦每隔 $4\cdot\frac\pi2=2\pi$ 重复一次。

没人会算的积分

18 世纪出现了类似的积分，只是把二次多项式换成了三次或四次多项式的根。它们出现在椭圆弧长的计算中，因此得名椭圆积分；也出现在双纽线的弧长中，以及单摆的运动中。

长为 $L$、摆幅很小的单摆，周期为 $T_0=2\pi\sqrt{L/g}$，这是中学里学的。但这个公式只在摆幅小时成立。对于任意摆幅 $\theta_0$，精确的周期是

$$T=4\sqrt{\frac Lg}\,K(k),\qquad K(k)=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}},\qquad k=\sin\frac{\theta_0}2.$$

当 $\theta_0=90°$ 时，$k=\frac{\sqrt2}2$，$K\approx1.8541$。于是 $T\approx7.416\sqrt{L/g}$，而简单公式给出 $6.283\sqrt{L/g}$：单摆要多花 18% 的时间。当 $k=0$ 时，$K=\frac\pi2$，又回到了中学的公式。

积分 $K$ 不能用已知函数写出来。法国人阿德里安–马里·勒让德为这些积分花了四十年，把它们分为三类，并计算了庞大的数值表。他的《椭圆函数论》于 1825 年至 1828 年间出版。

阿贝尔是听从费迪南·德根的建议才研究这些积分的。1821 年，这位哥本哈根的数学家读了这个挪威青年对五次方程的错误解法之后，建议他去研究椭圆积分：它们将是一道通往发现之海的“麦哲伦海峡”。

阿贝尔的想法

阿贝尔想到了勒让德没有想到的：像对反正弦那样，把这些积分反过来。不再研究弧长作为高度的函数，而是研究高度作为弧长的函数。在最简单的情形下，定义

$$s=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\qquad\Longrightarrow\qquad x=\operatorname{sl}(s),$$

即双纽线正弦。和正弦一样，反函数比积分本身性质好得多。当 $s$ 从 0 变到

$$\frac\varpi2=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\approx1.31103$$

时，它从 0 增加到 1，并以 $2\varpi\approx5.2441$ 为周期重复。符号 $\varpi$ 是 π 的另一种写法，称为双纽线常数。

阿贝尔于 1827 年在《克雷勒杂志》第二卷上以《椭圆函数研究》为题发表了这个理论。德国人卡尔·雅可比在同一年独立地得到了相同的思想，两人随后进行了两年的论文竞赛。

两个周期

当允许 $s$ 取复数时，大惊喜出现了。在积分中把 $t$ 换成 $iu$。因为 $(iu)^4=u^4$，$dt=i\,du$，

$$\int_0^{ix}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=i\int_0^x\frac{du}{\sqrt{1-u^4}}=is.$$

这意味着 $\operatorname{sl}(is)=i\operatorname{sl}(s)$。由于 $\operatorname{sl}$ 有实周期 $2\varpi$，它免费获得了一个虚周期 $2\varpi i$：

$$\boxed{\operatorname{sl}(s+2\varpi)=\operatorname{sl}(s),\qquad\operatorname{sl}(s+2\varpi i)=\operatorname{sl}(s).}$$

正弦只在一个方向上重复。椭圆函数在复平面的两个方向上重复：它们的值由一个平行四边形决定，就像一块铺满整个地面的瓷砖。阿贝尔证明了这对所有椭圆函数都成立，而且它们满足类似正弦 $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$ 的加法公式。

练习：一个单摆以 60° 的摆幅摆动。它的周期比简单公式给出的长多少？

当 $\theta_0=60°$ 时，$k=\sin30°=\frac12$，$K\left(\frac12\right)\approx1.6858$。比值为 $\dfrac{4K}{2\pi}=\dfrac{4\cdot1.6858}{6.2832}\approx1.073$：周期大约长 7%。一个摆幅这么大的摆钟每天会慢将近一小时四十分钟，所以钟表都使用小摆幅。

练习：证明双纽线正弦的导数是 sl′(s) = √(1 − sl(s)⁴)。

若 $x=\operatorname{sl}(s)$，则 $s=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$，由微积分基本定理，$\frac{ds}{dx}=\frac1{\sqrt{1-x^4}}$。反函数的导数是导数的倒数：$\frac{dx}{ds}=\sqrt{1-x^4}$。这与 $\sin's=\cos s=\sqrt{1-\sin^2s}$ 完全类似，只是平方换成了四次方。

来源： Niels Henrik Abel，“Recherches sur les fonctions elliptiques”，Journal für die reine und angewandte Mathematik 2（1827）和 3（1828）· Carl Jacobi，Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum（1829）· Jeremy Gray，Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century（Springer，2015）。

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