几何学家们一直非常关注代数方程的一般解法，其中好几位还试图证明它的不可能性。但是，如果我没有弄错的话，至今还没有人成功。

— 尼尔斯·亨里克·阿贝尔，《论代数方程》（1824）

上过学的人都知道一个解方程的公式：二次方程的求根公式。方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根是

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

这个配方只用到四则运算和一个平方根。巴比伦人在近四千年前就会解这类问题，欧几里得则用正方形和矩形来解它们。一个自然的问题是：更高次的方程也有这样的配方吗？

三次和四次

三次方程的答案来自文艺复兴时期的意大利。希皮奥内·德尔·费罗、尼科洛·塔尔塔利亚和吉罗拉莫·卡尔达诺找到了公式，卡尔达诺于 1545 年在《大术》（Ars magna）中发表了它。对于方程 $x^3+px+q=0$，一个根是

$$x=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.$$

我们用 $x^3+6x-20=0$ 来验证，即 $p=6$、$q=-20$。先算平方根：

$$\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}=100+8=108,\qquad\sqrt{108}=6\sqrt3.$$

公式给出

$$x=\sqrt[3]{10+6\sqrt3}+\sqrt[3]{10-6\sqrt3}.$$

看起来很可怕，但是 $(1+\sqrt3)^3=1+3\sqrt3+9+3\sqrt3=10+6\sqrt3$，同样 $(1-\sqrt3)^3=10-6\sqrt3$。所以

$$x=(1+\sqrt3)+(1-\sqrt3)=2.$$

确实，$2^3+6\cdot2-20=0$。不久之后，卡尔达诺的学生洛多维科·费拉里找到了四次方程的公式，也发表在同一本书中。这两个公式都只用四则运算和开方：我们说这些方程可以用根式求解。

两百五十年的尝试

剩下的是五次方程。两个多世纪里，最伟大的数学家们都尝试过，所有在四次以内管用的技巧到了五次都卡住了。1771 年，拉格朗日解释了这些技巧为什么管用：它们取决于根的某些表达式在根被打乱时如何变化。对于五次，这笔账算不通。1799 年，意大利人保罗·鲁菲尼发表了一个不存在公式的证明，但其中有漏洞，几乎没有人接受。

阿贝尔定理

1824 年，阿贝尔给出了完整的证明：

$$\boxed{\text{对于 }n\geq5\text{ 次的一般方程，不存在只用四则运算和开方的公式。}}$$

今天这个结果被称为阿贝尔–鲁菲尼定理。证明的思路是：假设这样的公式存在，看看它必须怎样构造。它是一层一层建起来的，每一层都对前面各层构成的表达式开方。阿贝尔证明，这些中间的根本身必须是方程五个根的表达式。这时拉格朗日和鲁菲尼的论证就派上了用场：五个根有 $5!=120$ 种打乱方式，而公式需要的那些表达式必须以某种方式变化，可是没有任何五个字母的表达式能这样变化。假设导致矛盾。

必须准确理解这个定理说了什么。它并没有说没有一个五次方程能解。方程 $x^5-32=0$ 的根是 $x=\sqrt[5]{32}=2$。不存在的是一个一般公式，能从系数出发解出所有五次方程。而且有些具体的方程，比如

$$x^5-x-1=0,$$

它的实根 $x\approx1.1673$ 存在，也可以算到任意多位小数，却无论如何都不能用根式写出来。哪些方程能解、哪些不能解，这个问题几年后由伽罗瓦回答。

练习：像拉斐尔·邦贝利在 1572 年那样，把卡尔达诺公式用于 x³ − 15x − 4 = 0。

这里 $p=-15$、$q=-4$，$\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}=4-125=-121$。公式需要 $\sqrt{-121}=11i$，即一个负数的平方根：$x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$。邦贝利注意到 $(2+i)^3=8+12i-6-i=2+11i$，而 $(2-i)^3=2-11i$。于是 $x=(2+i)+(2-i)=4$，确实 $64-60-4=0$。虚数就是从这扇门进入数学的：为了得到一个实数答案，三次方程的公式有时必须经过虚数。

练习：方程 x⁵ − 3 = 0 能用根式求解吗？这与阿贝尔定理矛盾吗？

能，$x=\sqrt[5]3\approx1.2457$ 是一个根，用一个根式写出。这并不矛盾：定理讲的是系数任意的一般方程 $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$。有些特殊的五次方程可以用根式求解；不存在的是一个适用于所有五次方程的统一公式。

来源： Niels Henrik Abel，Mémoire sur les équations algébriques（Christiania，1824）以及 “Beweis der Unmöglichkeit, algebraische Gleichungen von höheren Graden als dem vierten allgemein aufzulösen”，Journal für die reine und angewandte Mathematik 1（1826）· Peter Pesic，Abel’s Proof（MIT Press，2003）· 阿贝尔传记，MacTutor。

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