章节练习 14 — 直角三角形

在以下情况下确定$x$的值：

在下列情况下，将 $x$ 确定为 $a$ 的函数：

在以下情况下确定 $x$：

在以下情况下确定 $x$：

写出10与图中所示元素的度量关系。

在以下情况下确定 $x$：

图中确定元素$x$、$y$、$z$和$t$。

在下列情况下确定$x$和$y$：

确定$x$的值。

计算图中的元素$y$、$z$、$t$和$x$。

在下列情况下确定圆的半径：

在以下情况下确定$x$： a) 等腰三角形； b) 等边三角形。

确定以下情况下$x$的值： a) 矩形； b) 正方形。

确定等腰梯形中$x$的值。

确定梯形中$x$的值。

确定钻石中$x$的值。

确定平行四边形中$x$的值。

确定图中梯形的高度。

确定案例中$x$的值。

在以下情况下确定$x$的值：

参见本书的决议（第d项）

追踪到达接触点的光线，我们得到一个高度为 $x$ 的矩形梯形。将毕达哥拉斯定理应用于突出显示的三角形：

$$x^2 + 1^2 = 8^2 \;\Rightarrow\; x^2 = 63 \;\Rightarrow\; x = 3\sqrt{7}.$$

在下列情况下确定圆的半径：

确定情况下$x$的值（b中，$AB = 15$）：

求图中圆的半径： a) 底边为10米、底边为15米的矩形梯形； b) $AH = 25$米、$BC = 30$米和$AB = AC$。

在以下情况下确定$x$的值：

确定圆的半径，在这种情况下，如果直角三角形有： a) 边长为 6 m 和 8 m； b) 8 m 的一条边和 $4\sqrt{13}$ m 的斜边。

确定图中$x$的值：

确定周长为 20 m 的正方形的对角线。

确定周长为 20 米、底边为 6 米的矩形的对角线。

菱形的周长为 52 米，对角线长度为 10 米。计算另一条对角线。

确定周长 等边三角形 24 米的高度。

确定高度 等边三角形 6 米的周长。

等腰三角形 的周长为 18 米，相对于底面的高度为 3 米。确定基础。

确定边长为 4 米、5 米和 6 米的三角形的最小高度。

确定不相对于边长为 10 米、10 米和 12 米的 等腰三角形 底边的高度。

矩形的高度为 8 米，对角线超出底边 2 米。计算对角线。

矩形的周长为 30 米，对角线长度为 $5\sqrt{5}$ 米。确定这个矩形的边。

相对于底座的高度超出底座 等腰三角形 米 2 米。如果周长为 36 米，请确定底边。

等腰三角形 的每个全等边超出底边 3 m。如果相对于底面的高度为 12 米，则确定底面。

周长为 68 米的菱形对角线测量值之差为 14 米。确定该菱形的对角线。

矩形梯形的底边尺寸为 3 米和 9 米，周长为 30 米。计算高度。

计算直角三角形腿 12 厘米和 16 厘米中腿在斜边上的高度和投影。

计算直角三角形边 3 和 4 的斜边、相对于斜边的高度以及边在斜边上的投影。

给定 等边三角形 边 $a$，计算其高度。

梯子高 2,5 米靠在墙上，梯脚距墙 1,5 米。确定在这些条件下梯子到达墙壁的高度。

相对于直角三角形斜边的高度为 12 米。如果斜边的尺寸为 25 米，则计算边。

在三角形 $ABC$ 中，在 $A$ 中的矩形中，相对于斜边的高度为 1,2 厘米，斜边的高度为 2,5 厘米。分别为$m$和$n$，最大和最小边在斜边上的投影，计算$\dfrac{m}{n}$。

两个骑自行车的人沿着直线方向离开同一个城市；一个朝东，另一个朝北。已知骑车人的速度分别为 30 公里/小时和 45 公里/小时，确定两小时后他们之间的距离。

等腰梯形的底边尺寸分别为 12 m 和 20 m。非平行边的总和等于10 m。它有多高？

等腰梯形的底边尺寸为 7 和 19，非平行边尺寸为 10。计算这个梯形的高度。

在矩形梯形中，底边之和为 16 cm，其中一个底边是另一个底边的 $\dfrac{3}{5}$。已知斜边尺寸为 5 厘米，确定高度。

图中，计算矩形梯形的高度$ABCD$。

知道直角三角形的直角边的平方和斜边的平方之和等于 200，请确定该三角形的斜边的尺寸。

计算底边 16 厘米和高 6 厘米的 等腰三角形 周长。

确定底边为 24 厘米和 10 厘米的梯形的高度，已知非平行边分别为 15 厘米和 13 厘米。

外接圆的等腰梯形的最大底边和倾斜于底边的一条边分别等于18cm和13cm。确定梯形的高度。

两个割圆的公共弦的尺寸为 16 厘米。用 10 cm 和 17 cm 测量圆的半径，确定圆心之间的距离。

让它成为圆外部的一个点$P$。从该点到圆周的最短距离为 6 cm，从该点到圆周的最大距离为 24 cm。确定通过该点的圆的切线段的长度。

半径为 12 cm 和 20 cm 的两个圆外切。确定线段 $\overline{PQ}$ 的长度，该线段是两个圆的公共切线，具有 $P$ 和 $Q$ 切点。

外接等腰梯形的底边尺寸为 8 cm 和 16 cm。计算梯形的高度。

证明等腰梯形内切圆的直径是梯形底间的几何平均数。

计算图中圆半径的测量值，已知$AD = 12$cm、$AE = 15$cm和$AB = 8$cm。

在高度为 8 的 等腰三角形 中，内接半径为 3 的圆。计算三角形底边的尺寸。

在直角三角形 $ABC$ 的斜边 $\overline{AB}$ 上构造第二个直角三角形 $ABD$，其斜边为 $\overline{AB}$。如果$BC = 1$、$AC = b$和$AD = 2$，则计算$BD$。

图中的梯形$ABCD$中，对角线$\overline{AC}$垂直于斜边$\overline{AD}$。用$CD = 25$厘米和$AD = 15$厘米，确定梯形的高度。

确定图中矩形梯形的对角线尺寸 $\overline{AC}$，已知底边尺寸分别为 4 厘米和 9 厘米，边长 $\overline{BC}$ 尺寸为 $\sqrt{34}$ 厘米。

线段 $\overline{AB}$ 的端点 $A$ 和 $B$ 作为中心 $O_1$ 和 $O_2$ 圆周的切点。分别以 15 cm 和 3 cm 为这些圆的半径，以 24 cm 为其圆心之间的距离，确定线段 $\overline{AB}$。

确定直角三角形斜边的尺寸，其中 24 m 是其周长，$\dfrac{24}{5}$ m 是相对于斜边的高度的尺寸。

考虑直径为 $AOB = 2r$ 的半圆。我们在内部构造两个新的直径为 $\overline{OA}$ 和 $\overline{OB}$ 的半圆以及与这三个半圆相切的圆。计算这个圆的半径。

在一条直线的同侧，与该直线相切，画出三个圆，且两个圆两两相切。知道其中两个的半径等于 16，计算第三个的半径。

正八边形是通过在正方形的顶点切割等腰直角三角形而形成的。如果正方形的边长为 1，则删除的三角形的边长是多少？

让我们考虑如图所示的两个相切圆。以 $E$ 为小圆的圆心，$F$ 为两个圆之间的切点，$a$ 为正方形的边，确定小圆的半径为 $a$ 的函数。

考虑一个正方形 $Q$，边长为 $a$，在 $Q$ 内部有五个半径相同的圆 $r$，其中一个与 $Q$ 同心，并与其他四个圆相切，并且每个圆都与 $Q$ 的两个连续边相切。将 $r$ 的测量值确定为正方形边长的测量值 $a$ 的函数。

在图中，确定圆的半径，已知 $\overline{AC}$ 和 $\overline{AD}$ 分别与圆在点 $C$ 和 $D$ 相切，以及 $BE = 12$ cm 和 $AE = 54$ cm。

两辆缆车$T_1$和$T_2$从位于水平面上的车站$E$出发，前往两座山的山峰$P_1$和$P_2$。确定$P_1$和$P_2$之间的距离，已知缆车分别覆盖1500米和2900米，第一座山高900米，第二座山高2000米，山脚和$E$在一条直线上。

设两个圆在内部相切，如图所示。根据 $PQ = 8$ cm 和 $ST = 3$ cm，计算 $\overline{RQ}$ 的测量值。

在以 $O$ 为圆心、以 $R$ 为半径的圆中，考虑弦 $AB = \dfrac{R}{2}$。计算扇形 $OAB$ 内切圆的半径。

在正方形的边上，我们在外部绘制四个 等腰三角形，相对于底边的高度等于 3 厘米。确定正方形的周长，已知四个三角形的顶点属于同一个圆，半径等于$3(\sqrt{2} + 2)$厘米。

两个正方形 $ABCD$ 和 $CDEF$ 具有共同的边 $\overline{CD}$。我们绘制对角线 $\overline{AC}$ 和 $\overline{EC}$。 $AM = \dfrac{1}{3}AC$和$EP = \dfrac{1}{2}CE$，$\overline{AC}$中的$M$和$\overline{CE}$中的$P$，根据正方形的边$a$确定线段$\overline{PM}$。

确定周长为 $(18 + 6\sqrt{3})$ 米的直角三角形的高和中线相对于斜边的距离，已知直角腿在斜边上的投影与数字 1 和 3 成正比。

确定直角三角形的周长，已知相对于斜边的中线和高度分别为 4 厘米和 $2\sqrt{3}$ 厘米。

给定直角三角形 $ABC$，边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 分别等于 80 厘米和 60 厘米，请考虑相对于三角形斜边的高度 $\overline{AH}$ 和中线 $\overline{AM}$。计算线段 $\overline{AH}$、$\overline{AM}$、$\overline{HB}$、$\overline{HC}$、$\overline{MH}$ 的尺寸以及三角形的斜边。

确定相对于 等腰三角形 底面的高度，作为内切圆的底面 $a$ 和半径 $r$ 的函数。

确定相对于具有边 $b$ 和 $c$ 的直角三角形的斜边的内部 角平分线。

看书上的解决办法

令 $x$ 为 角平分线 $\overline{AS}$ 相对于斜边的测量值。通过 $S$，我们绘制一条与其中一条腿平行的线段 $\overline{SP}$，例如与 $b$ 平行。三角形 $APS$ 是等腰矩形 ($A\hat SP = 45^{\circ}$)，有边 $y$：

三角形 $BAC$ 和 $BPS$ 相似。然后：

$$\begin{cases} y^2 + y^2 = x^2 \\ \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{c - y} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \dfrac{x}{\sqrt{2}} \\ c\,y = bc - by \end{cases} \Rightarrow c\,\frac{x}{\sqrt{2}} = bc - b\,\frac{x}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{2}\,bc}{b + c}.$$

Num 等腰三角形 $ABC$、$M$ 是基数 $\overline{BC}$ 中的任意点。显示 $(AB)^2 - (AM)^2 = (MB) \cdot (MC)$。

将 等腰三角形 的周长确定为高度相对于三角形底边在全等边之一的投影 $a$ 的函数，以及该高度 $h$ 的函数。

在正方形 $ABCD$ 中，我们在 $\overline{AD}$ 的边上取一个点 $E$，例如 $AE = \dfrac{1}{4}AD$，并在 $\overline{AB}$ 的中间取点 $O$。由于 $\overline{OP}$ 垂直于 $\overline{CE}$，其中 $P$ 是 $\overline{CE}$ 垂线的底脚，因此证明 $(OP)^2 = (EP) \cdot (CP)$。

让我们考虑一个三角形 $ABC$ 以及三角形内部的 角平分线 $\overline{AD}$ 和外部的 $\overline{AE}$。证明

设一个直径为 $AB = 2r$ 的半圆以及该半圆的切线 $\overrightarrow{AX}$ 和 $\overrightarrow{BY}$。半圆上任意点 $C$ 的切线与 $D$ 中的 $\overrightarrow{AX}$ 和 $E$ 中的 $\overrightarrow{BY}$ 相交。显示 $(CD) \cdot (CE) = r^2$。

在以下情况下确定 $\operatorname{sen}\alpha$：

在以下情况下确定 $\cos\alpha$：

在以下情况下获取 $\operatorname{tg}\alpha$：

在以下情况下确定$x$的值：

在以下情况下确定$x$的值：

确定以下情况下$x$和$y$的值：a）矩形； b) 平行四边形； c) 平行四边形； d) 矩形梯形； e) 等腰梯形。

在以下情况下确定$x$的值：

60°角一侧的点距离该角顶点为16米。角的另一边有多远？

30° 角一侧的点距另一侧 6 米。确定从该点在另一侧的正交投影到角度顶点的距离。

直角的内点$P$距角的边为4米和8米。 $P$ 到该角顶点的距离是多少？

直角的内点距离角的边为 4 m 和 10 m。该点距该角度的 角平分线 有多远？

直角内的点$P$距该角的一侧和角平分线分别为$\sqrt{2}$米和2米。确定 $P$ 与该角顶点之间的距离。

60° 角度内的点 $P$ 距该角度两侧的距离为 6 米和 9 米。角度的 $P$ 和 角平分线 之间的距离是多少？

60° 角度内的点 $P$ 距离角度两侧为 3 米和 6 米。确定 $P$ 与该角顶点之间的距离。

30° 角度内的点 $P$ 距离一侧为 3 米，距离角度顶点为 $3\sqrt{13}$ 米。该点在角的另一边有多远？

60° 角外部的点 $P$ 距角两侧的距离为 $9\sqrt{3}$ 米和 $3\sqrt{3}$ 米，这些距离都不到角的顶点。角度的 $P$ 和 角平分线 之间的距离是多少？

在直角三角形中，斜边的平方是直角边乘积的两倍。计算三角形的锐角之一。

通过边为 $a$ 的正方形 $ABCD$ 的顶点 $B$，在正方形内部截取一条线段 $\overline{BS}$，该线段与 $\overline{BA}$ 形成等于 30° 的角度，$S$ 在 $\overline{AD}$ 中。确定$AS$和$BS$。

观察者以 60° 的角度观看建在平地上的建筑物。如果他距离建筑物更远 30 米，他将以 45° 的角度看到它。计算建筑物的高度。

三角形$ABC$的边$\overline{AB}$和$\overline{AC}$分别为$a$和$2a$，45°是它们形成的角度。计算三角形的高度 $\overline{BD}$ 和边 $\overline{BC}$ 的测量值，作为 $a$ 的函数。

矩形梯形的底为 $b$ 和 $2b$，其中一个角度为 60°。计算高度。

等腰梯形的锐角之一为 60°。由于非平行边与梯形的较小底边相等，并且 $m$ 是较大底边的测量值，因此根据 $m$ 确定梯形的周长。

确定等腰梯形的对角线与梯形的高度形成的角度，已知梯形的高度等于其平均底乘以 $\sqrt{3}$。

等腰梯形的最大底边尺寸为 100 厘米，最小底边尺寸为 60 厘米。以 60° 为每个锐角的测量值，确定梯形的高度和周长。

确定$\operatorname{tg}\alpha$，已知$E$是正方形$ABCD$的边$\overline{BC}$的中点。

确定半径为 60° 和 6 dm 的圆弧内切圆的半径。

令 $AB = 3r$ 与以 $O$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆在 $A$ 上相切。通过 $B$ 绘制切线 $\overline{BC}$，以 $C$ 作为接触点。计算从$C$到直线$\overleftrightarrow{AB}$的距离。

让我们考虑一个直角三角形 $ABC$，其中锐角的度量为 $\alpha$。确定内切圆半径的测量值作为 $\alpha$ 和斜边 $a$ 的函数。

平行四边形的边长分别等于 10 厘米和 8 厘米。已知其一个内角的值为 120°，计算由其内角 角平分线 形成的凸四边形的周长。

图中我们有一个正方形和一个 等边三角形。确定未知数。